"Как можно это организовать?"
самостоятельно))

On error действует также на вложенные функции и процедуры и если ошибка возникает, то Resume будет не в вложенной функции или процедуре а в коренной Sub/Function где был объявлен On Error Практика показывает, что отлавливать ошибки нужно там где они могут возникнуть
On error goto метка - установить отслеживание
On error goto 0 - прекратить отслеживание

1. Можно создать Global Переменную которой присваивать в каждой нужной Sub/Function имя этой функции/процедуры
2. Создать глобальную процедуру для:
open ... for append #..
print #.. глобальная переменная которая помнит название Sub/Function
print #.. ваша ошибка
close #..

Толку будет мало. Лучше не пользоваться такой компилированной прогой, а проверить ее работоспособность тестируя каждую функцию отдельно, стараться вызвать в ней ошибку. Если все функции/процедуры бронебойные, то незачем на ошибки проверять лишний раз