Вообще-то jsessionid пишется в cookie, передается через заголовок set-cookie отзыва сервера на валидный http request.

С чего вы взяли, что он включен в тело станички?

Попытаюсь ответить еще проще - вы и так получаете "полный хтмл текст , со скриптами, с описанием слоёв". Но того, что вы ищите - там нет и быть не может. Оно содержиться в заголовках (headers) запросов (request) клиента (WebBrowser) и ответов (response) сервера (WebServer). Обмен происходит по протокулу http.

Например, клиент запрашивает:

Request Headers:
Connection: keep-alive\r\n
Cookie: JSESSIONID=0000d87e6N5A9HPtyJzJugJcLPJ:-1;
JSESSIONID=0000bkJ_b0q0bTyQNMCjqzcFeRp:-1\r\n
Accept: image/gif, image/x-xbitmap, image/jpeg, image/pjpeg,
application/x-shockwave-flash, application/vnd.ms-excel,
application/vnd.ms-powerpoint, application/msword, application/x-icq,
*/*\r\n
Accept-Language: ru\r\n
Accept-Encoding: gzip, deflate\r\n
User-Agent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1;
SV1; InfoPath.2; .NET CLR 2.0.50727; .NET CLR 1.1.4322)\r\n
X-Forwarded-For: IP\r\n
Via: 1.1 NetCache-DSL-MED-Stack2 (NetCache NetApp/6.0.3P2D2)\r\n

Сервер отвечает:

Response Headers:
Date: Thu, 14 Sep 2006 15:46:58 GMT\r\n
Server: IBM_HTTP_Server/2.0.47.1-PQ94389 Apache/2.0.47 (Win32)\r\n
Expires: Thu, 01 Dec 1994 16:00:00 GMT\r\n
Set-Cookie: JSESSIONID=0000d87e6N5A9HPtyJzJugJcLPJ:-1;Path=/\r\n
Cache-Control: no-cache="set-cookie,set-cookie2"\r\n
Keep-Alive: timeout=10, max=100\r\n
Connection: Keep-Alive\r\n
Transfer-Encoding: chunked\r\n
Content-Type: text/html; charset=WINDOWS-1255\r\n
Content-Language: en-US\r\n

К html все это не имеет никакого отношения.