Странный вопрос, конечно, но по порядку.

"Кто в России пишет по ТЗ?" - Обычно те, кто работают по договорам, те и разрабатывают ПО (как я понял, это имелось в виду по словом "писать") на основе ТЗ.

"а как обстоят дела с постановкой задачи в больших и маленьких компаниях"
Я бы не стал ставить знак равенства между постановкой задачи и ТЗ - это всё-таки в общем случае разные вещи. "Как обстоят дела" - вопрос слишком общий, но постараюсь на него ответить.

В малом и среднем бизнесе, несвязанном с IT и техническими системами, Заказчик зачастую считает, что как только он вербально сформулировал своё видение проблемы и возможного решения ("ну нам нужна какая-то ситемка, которая будет считать за операторов неучтённые остатки"), то можно заключать договор и Исполнителю эту самую систему делать. Причём к договору прикладывается нечто, что традиционно неудачно называется "ТЗ на работы" и состоит из нескольких пунктов. Это та самая ситуация, когда говорят, что "Заказчик не хочет оплачивать работы по созданию ТЗ", т.е. "ТЗ на систему" подменяется "ТЗ на работы" - это принципиально важный момент! Тут Исполнитель может либо согласиться на такие работы на свой страх и риск, уповая на неформальные методы работы, либо попытаться объяснить Заказчику важность письменной и достаточно подробной фиксации требований к создаваемому продукту, а возможно, и предварительного обследования, которые таким образом становятся полноценными этапами работ. Но тут уже вопрос в убедительности такого "консалтинга".

Если Заказчик понимает важность и необходимость описания требований к создаваемому продукту/системе, то в большинстве случаев соглашается на условия, в которых требования в виде документа, называемого "ТЗ", пишет Исполнитель, который потом иили в процессе согласовывает его с Заказчиком. Если Заказчик из большого бизнеса (имеет собственную IT-структуру) или является IT-компанией, то ТЗ может написать и он сам. На мой взгляд, и тот и другой подход имеют свои минусы, которые во многом можно исключить, если обследования и требования проводят и формулируют не Заказчик и Исполнитель (Разработчик системы), а организация-посредник - эксперт в данной бизнес-сфере и IT. По такой схеме работают на больших коммерческих и государственных проектах, но я считаю, что её вполне удачно можно применять и в мало-средних.