Поменять местами <div class="w3l_banner_nav_right"> и <div class="w3l_banner_nav_left">. Первым должен идти .w3l_banner_nav_right
Убрать overflow:hidden у .accordion и .msg
Убрать float:left у div#bs-megadropdown-tabs

Эдакий дефолтный z-index.

Выпадающее меню видно за пределами родительского элемента (.w3l_banner_nav_left), потому что overflow:visible. Но когда оно вылазит за пределы родителя, его начинает перекрывать элемент, идущий следующим в DOM (.w3l_banner_nav_right).

Если же мы .w3l_banner_nav_left поставим после .w3l_banner_nav_right, то уже .w3l_banner_nav_left начнет перекрывать, что нам собственно и надо.

Возможно, это можно решить установкой z-index, но у меня не получилось. Совсем глубоко разбираться настроения не было.