public partial class MainWindow : Window
{
    private Label appState;

    public MainWindow()
    {
        InitializeComponent();

        appState = new Label() {Content = "Running"};
        Content = appState;
    }

    protected override void OnClosing(CancelEventArgs e)
    {
        Title = "Closing";              // Изменение значения "Title" просходит
        appState.Content = "Closing";   // Изменение значения "appState" не происходит
        // MessageBox.Show("Closing");  // Но если раскоментировать эту строку то "appState" изменится
        Thread.Sleep(1000);

        base.OnClosing(e);
    }
}

public partial class MainWindow : Window
{
    private Label _appState;
    private bool _doBeforeClose = true;

    public MainWindow()
    {
        InitializeComponent();

        _appState = new Label() {Content = "Running"};
        Content = _appState;
    }

    

    async protected override void OnClosing(CancelEventArgs e)
    {
        Title = "Closing";
        _appState.Content = "Closing";

        if (_doBeforeClose)
        {
            _doBeforeClose = false;
            e.Cancel = true;
            await Task.Delay(1000);
            Close();
        }
        base.OnClosing(e);
    }
}