У тебя у первого окна свойство Topmost в true выставлено. Галочку в пропертях сними.
Или во втором окне тоже в труе поставь, так например:

Avtorizacia avtorizaciya = new Avtorizacia();
avtorizaciya.Topmost = true;
avtorizaciya.Show();
И не называй объекты именами класса. Вместо Avtorizaciya напиши например avtorizaciya или _avtorizaciya а то потом хрен разгребешь где что.

>>Как мне сделать в коде так, чтобы второе окно отобразилось, а первое закрылось?
Avtorizacia avtorizaciya = new Avtorizacia();
avtorizaciya.Topmost = true;
avtorizaciya.Show();
this.Close();