Я так понимаю вы делали по нескольким примерам
1 DataContext="{Binding RelativeSource={RelativeSource Self}}" здесь вы в дата контекст подпихиваете this т.е MainWindow, но там у вас не объявлено проперти Cats. Появится там и жизнь станет легче. Т.е в конструкторе создаёте Cat и в коллекцию. это первый вариант
дальше
2 this.DataContext = catViewModel; но вы предварительно не заполнили коллекцию, т.е она у вас пустая. И всё из лоадед вынесите в конструктор. Т.е там создавайте Cat, объект в коллекцию, и коллекцию в датаконтекст. Это второй вариант
в общем что то одно

и не забудьте AutoGenerateColumns="False" у DataGrid