Здравствуйте.
Пусть у нас есть квадратная матрица размером 1000x1000. Мы не знаем никакой информации о ней, плотнозаполненная она или нет, или другой вспомогательной информации. Как на практике найти число обусловленности матрицы ? Искать обратную матрицу будет затруднительно. Матрица может быть размером 10^6x10^6.
Мне раньше предлагали подобные вопросы делать на dxdy, что я уже дважды сделал (за год), и не получил ни одного ответа. Один получил, но он не по теме. Наверняка кто-то встречался с такими задачами на практике

Соколинский БорисSashaMercury,
Насколько я помню, обусловленность можно посчитать через отношение собственных чисел (наименьшее к наибольшему по модулю).
Алгоритмы вычисления СЧ имеются в избытке. Будет дольше, зато устойчиво.

Что вы имеете ввиду под устойчивостью в данном случае? Дольше мне не нужно, мне нужно быстрее

Вообще, всеми любимая вики по части математики мягко говоря гадость.
Число обусловленности показывает насколько близка матрица к вырожденной. Зачем это нужно ? Чтобы понять насколько устойчиво решение к погрешностям возникающим при решении СЛАУ. Но близость к вырожденной матрице не подразумевает значение определителя около 0. Данная характеристика рассчитывается как произведение норм обратной матрицы и исходной. Норма матрицы может быть рассчитана разными способами, не принципиально. Асимптотика n^2 (для квадратной матрицы). Но вычисление обратной матрицы затруднительно. Вот в чём проблема

Да я вроде бы выше всё объяснил. У Калиткина (Численные методы) неплохо написано. Есть научно-популярная статья, доступная в сети, Цей,Шумафов Число обусловленности матрицы как показатель устойчивости при решении прикладных задач.

Соколинский Борис, LU разложение не даст мне в итоге асимптотику лучше чем O(n^3).

lionsatman Время исчислений сейчас? Сколько нужно?
Что вы используете? (Hardware,OS,Software)
Каким путём вы шли для вычисления А^-1?

Sun SPARC Enterprise T5440
Мне нужен другой алгоритм. Или мне нужны какие-то оценки сверху того самого числа обусловленности. Я человек совсем неопытный, но то что каждый второй на этом ресурсе решал СЛАУ на практике, я не сомневаюсь. Но когда решают СЛАУ, всегда нужно знать насколько устойчива система, потому наверняка все как-то проверяют это. Должны быть оценки сверху.
Быстрее O(n^3) обратную матрицу вы не найдёте (насколько мне известно), вероятностные алгоритмы меня не интересуют.

SSБыстрее O(n^3) обратную матрицу вы не найдёте (насколько мне известно)

и потому, оптимизация по этой части, думаю, не поможет.