Вас обманули,

Условие вписываемости выполняется (длина любой стороны не превышет суммарную длину всех остальных сторон).

есть условие не "вписываемости", а существования замкнутого многоугольника.

Успехов.

Да, по-сути: пусть даны n сторон d1,d2,...dn, R - искомый радиус, a1,a2,...an - углы при вершинах соответствующих секторов. Имеем нелинейную систему из n + 1 уравнения:

2*R*sin(ai/2) = di, i = 1,...n
Sum(ai) = 2*pi

для n + 1 неизвестного R,ai.

Лично мне было бы не влом кракнуть эту системку численно Ньютоном, т.к. моя личная библиотека линейных солверов у меня под рукой. Ну а как Вы будете выкручиваться - дело Ваше, хотя может кто и предложит аналитическое решение...

Успехов.

Задача поставлена корректно. Да, безусловно, существует бесконечное множество выпуклых замкнутых многоугольников, вокруг которых невозможно описать окружность. Это очевидно. Поэтому в общем случае задача НЕ имеет решения. Тем не менее, если для заданного набора длин сторон решение существует, то заданных условий достаточно для однозначного определения радиуса описанной окружности. Всё. Всё остальное определяется с точностью до двух аффинных преобразований: произвольного сдвига начала координат и поворота системы коопдинат на произвольный угол.

Мне приходит на ум только методом перебора делать. Вычислить начальный радиус круга (длина круга = сумме длин всех сторон, затем из длины выражаем радиус), затем последовательно откладывать каждый из отрезков, концы которых будут на границе окружности. Если конец последнего отрезка не совпадет с началом первого - уменьшать радиус. Но Вы пока это дебажить будете, рак башки схватите...

По моей методике это будет делать метод Ньютона, уверяю Вас, если решение существует, то с точностью до 0.000...01 Ньютоном оно найдется за 5 - 6 итераций.

softwarerНе совсем. Думаю, пропущено условие "многоугольник является выпуклым/несамопересекающимся (любое из этих условий сгодится)"

Нет, любое не сгодится, только выпуклый, вокруг невыпуклого описать окружность невозможно. Несамопересекающийся может быть невыпуклым. Вообще то ловить меня надо было на этом пассаже:

Да, безусловно, существует бесконечное множество выпуклых замкнутых многоугольников, вокруг которых невозможно описать окружность. Это очевидно. Поэтому в общем случае задача НЕ имеет решения.

Из одного другого не следует: e.g. квадрат vs ромб. В связи с этим есть у меня чуйство что для любого набора длин сторон решение существует и единственно, под решением понимается выпуклый многоугольник.

Никак.

Поздравляю, Вы свели мою систему к одному нелинейному уравнению. Теперь вычислительная сложность реализации метода Ньютона вообще децкая (хотя я бы так делать не стал если требуется алгоритм для произвольного числа сторон). Начальное приближение для R - Sum(di)/(2*pi).

Ну численный то я тебе сразу предложу..
строишь окружность радиуса R0 - откладываешь ломанную по окружности из сторон многоугольника (это всегда можно сделать).
вычисляешь из расстояния между конечными точками - на сколько необходимо уменьшить радиус (или увеличить)..
Например :
R1 = R0 - D / 2PI. ( надо подумать ещё!)

Метод должен сходится стопудов!

Не должен. В основе лежит неверная посылка что длина хорды зависит от радиуса окружности линейно, что справедливо для длины дуги окружности. Если бы это было бы так, то задача решалась бы аналитически в три действия.

Эх знал бы я так математику.....
Если не найдется аналитическое решение, придется делать численное. Никуда не денешься.
Или методом перебора с заданным шагом :-)))))

В свете Ваших последних признаний, то что Вы запостили вначале не совсем эквивалентно тому, что Вы на самом деле ищите (может и эквивалентно, но это не очевидно и, вообще говоря, надо доказывать). Если хотите, я могу сбросить систему уравнений к которым приведет вариационная постановка задачи, но предупреждаю, она будет также нелинейной и будет выглядеть ещё пострашнее, чем в случае с окружностью, так что от итерационных методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений Вам, похоже, никуда не деться. Xотя, чёрт его знает, например до открытия дифференциального/интегрального исчисления был такой оригинал (кажется Гюйгенс), так он некоторые задачи, кот. теперь решаются при помощи диффуров умудрялся решать без этих прибамбасов. Так что never say never!

Мне все таки кажется, что можно это решить без перебора.

Но если теперь вспомнить что сумма всех углов должна дать в итоге 360 градусов и добавить это уравнение в систему - получим вполне простую систему которую уже можно решить традиционными методами.

Осталась мелочь - найти традиционный НЕИТЕРАЦИОННЫЙ метод решения нелинейных алгебраических уравнений.

Не должен. В основе лежит неверная посылка что длина хорды зависит от радиуса окружности линейно, что справедливо для длины дуги окружности. Если бы это было бы так, то задача решалась бы аналитически в три действия.

Блин, имел ввиду от угла сектора конечно. От радиуса то как раз линейно.

Так, чтобы застолбить приоритет - задача с окружностью кажется действительно решается аналитически в три действия...

Продолжение следует...

Э..., нет. Май бед.