Из википедии:

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.

Объясните пожалуйста как-нибудь на пальцах что такое поле, в чём ценность того, что оно замкнуто благодаря комплексным числам. Реальную ценность того, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней. А многочлен степени n с не-комплексными коэффициентами имеет меньше корней? В чём ценность совпадения кол-ва корней и степени многочлена? В чём ценность многочлена вообще?

ShSergeВозьмём уравнение 1+x ² =0
В действительных числах - не решается, а в комплèксных - не вопрос. Два решения: i и -i.
Это я уже вкурил из википедии...
Мне бы чё-нибудь поприближеннее к реальной жизни.

Например комплексными числами представляется гармоническое колебание - реальная часть - амплитуда, мнимая часть - фаза. В реальной жизни это "звук в проводах". Что такое амплитуда и фаза понятно. Но комплексное число тут выглядит как std::pair<float, float> и не более. Т.е. математики подыскали существующий "контейнер на два вещественных числа" )

Edd.DragonmriadusВ чём ценность многочлена вообще?
В том что любую самую адскую функцию можно разложить в степенной ряд, т.е. в многочлен. И дальше с ним делать что угодно.
Тот же синус например -
Или тот же алгоритм jpeg, основанный на преобразовании Фурье.

Это если в дебри математики не погружаться. А если погрузиться, так многочлен на многочлене и многочленом погоняет.
Вот оно как...

А может кто-нибудь физический смысл или лучше сказать "реальный смысл" производной объяснить? Производная первого порядка, второго и т.п. Спасибо!

китайский серверmriadus Производная первого порядка,

скорость
mriadusвторого и т.п.
ускорение и т.п.
Ок... Это слишком "в лоб"... Хочется понять, как работает мышление у того, кто придумал производные... Они из чего последовательно вытекают? Чисто логически/математически.

zkutchmriadus,

что показывает спидометр?

что такое средняя скорость легко понять: берем интервал времени и делим на него длинну пройденного за это время пути. Но чем больше интервал времени, тем грубее оценка скорости. Например 60 км/час не говорит о характере движения внутри одного часа. Может были моменты более быстрого движения, или более медленного, неизвестно. Когда нужна более точная оценка берем минуту, или еще точнее секунду. Получаем среднюю скорость как растояние пройденное за секунду, (60 км/час = 16.66... м/сек). Но и это может быть очень грубой оценкой. Мало ли что там за целую секунду может происходить. Опять уменьшаем время и получаем все более точную характеристику движения. Вот когда интервал времени "стремится" к нулю получаем "мгновенную" скорость, как самую точную характеристику движения (это одно из самых опасных определений). Т.е. характеризуем скорость(="средняя скорость в мгновение времени") в любой момент времени.

Эта мгновенная скорость и есть производная.

В идеале спидометр должен бы ее и показывать, но реально показывает замеры средней скорости для маленьких интервалов времени.

Если сумел ответить и интересно спрашивайте дальше.
Да, интересно! Т.е. у производной такой чисто утилитарный смысл, подразумевавшийся "создателями" производной изначально - скорость мгновенную выражать? Механическую такую скорость... Это не слишком-то "общо" ) Что ещё производной можно выразить? Хочется понять её более "общий" характер.

P.S.
Подумаю - может сам допру. Остальные вопросы по мере варения котла (-; Спасибо!

maytonmriadusОк... Это слишком "в лоб"... Хочется понять, как работает мышление у того, кто придумал производные... Они из чего последовательно вытекают? Чисто логически/математически.
Могу ошибаться. Пусть поправят. Дифференциальное исчисление открывали одновременно Ньютон и Лейбниц. Оба - независимо друг от друга и первенство определилось лишь сроком публикации трудов. Обоим нужен был математически строгий инструмент для решения задач физики-механики. Забавный факт. После предоставления Лейбницем трудов на изучение другим математикам, про него сказали что он - "шарлатан" и мошенник. Что поделаешь. Сообщество ученых того времени не гналось за сенсациями. Важнее было сохранение догматики.

Вообще вопрос как работает мышление у тех кто что-то придумывает - вопрос на мильён багсов. Мне всегда было интересно как происходит синтез "доказательства" теоремы. Не сам процесс как доказывают. А именно ход мысли учёного. Здесь помимо логики должны работать какие-то сверх тонкие интуитивные механизмы. Нечто вроде способности "предвидеть" исход заранее, не проводя вычислений и логических выкладок.
Ну уж я не совсем разложение мозгов на молекулы имел ввиду... Логику введения понятия производная... Например логика введения понятия наследования в ООП: "сцука, и у этого объекта есть эти методы/свойства и у этого... похоже на наследование в природе, нах! Ну-ка замутим наследование классов. Пусть будет базовый, а эти наследуют от него и имеют то, что он..."

VowkmriadusДа, интересно! Т.е. у производной такой чисто утилитарный смысл, подразумевавшийся "создателями" производной изначально - скорость мгновенную выражать? Механическую такую скорость... Это не слишком-то "общо" ) Что ещё производной можно выразить? Хочется понять её более "общий" характер.

Вот об этом как раз и пишет Дьедонне, указывая на катастрофически неправильный способ введения понятия производной в большинстве курсах анализа. На самом деле производная - это локальное приближение функции линейной формой. Это как Земля круглая, а она нам кажется плоской.
Так, другое дело ) Локальное приближение функции линейной формой... Ага... Т.е. есть офигенно сложная функция с офигенно скачущим графиком, допустим. Если взять на ней точку, сильно в неё заZOOM-иться экраном, получим на экране небольшой кусочек графика этой функции (локальный кусок функции), который будет очень похож на линию. (инструкция: если не хватает линейности, добавить zoom). И вот новая функция, которая описывает эту линию, которую мы увидим при большом зуме и будет производная? Так?

А как насчёт производной первого порядка, второго... Почему порядки имеют такие номера? (вернусь через час).

softwarerGgg_oldТак ведь можно ввести и другие числа например c двумя мнимыми частями, которые тоже могут иметь какие-нибудь полезные в народном хазяйстве свойства.
Нельзя. Сколь мне помнится, теоретически доказано, что они не образуют поля (то есть - построить конечно можно, но делать что-то с ними общим матаппаратом ни фига не получится).

Можно ввести числа с тремя "мнимыми частями", они называются кватернионы.
Поподробнее хочу! Почему они поля не образуют, а почему кватернионы образуют?