N делится на НОД(A,B)^2

exp98,

мне стоит вам завидовать? ))

На мой взгляд, препод хотел, чтобы ребенок сформулировал теорему:

Т. Если N делится на A, B и НОД(A,B)^2, то N делится на A*B.

Имя пользователя1,

согласен.

По идее вместо НОД^2 надо добавить произведение всех общих простых множителей А и В в нужных степенях,
но непонятно, как его выразить через НОД, НОК, А и В.

Так вроде нормально будет

Т. Если N делится на A*НОД(A,B) и на B*НОД(A,B), то N делится на A*B.

Имя пользователя1,

Пусть M - произведение общих множителей A и B, (A<B).
Тогда НОД^2<=M<A*B=НОД*НОК.

Пример.
A = 2^3 * 3^2 * 7 = 504
B = 2^2 * 3^3 * 5 = 540
M = 2^5 * 3^5 = 8736
НОД = 2^2 * 3^2 = 36
НОД^2= 2^4 * 3^4 = 1296
A*B = 272160

exp98,

я это знаю, но все равно спасибо ))
В предыдущем сообщении я просто обращал внимание на отличие M от НОД.

Есть 2 утверждения, каждое из которых является ответом на вопрос топика:
1) Если N делится на A*НОД(A,B) и на B*НОД(A,B), то N делится на A*B.
2) Если N делится и на A, и на B, и на M, то N делится на A*B.

Скорее всего учитель имел ввиду, что А и В взаимно просты,
как было сказано еще в первом ответе 22373259 ,
что является частным случаем 22373656 .

Dima T,

они взаимно простые, и, следовательно, удовлетворяют вышеприведенным условиям.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Взаимно_простые_числа

Сначала докажем (1) из 22373656 в сторону "необходимо":
Дано: N делится на A*B.
Доказать, что N делится и на A*gcd(A,B), и на B*gcd(A,B).

Доказательство.
Возьмем a и b такие, что A=a*gcd(A,B), B=b*gcd(A,B).
Имеем: N делится на A*B=a*gcd(A,B)*B=b*gcd(A,B)*A.
Следовательно, N делится и на A*gcd(A,B), и на B*gcd(A,B), чтд.

Теперь докажем (1) из 22373656 в сторону "достаточно":
Дано: N делится и на A*gcd(A,B), и на B*gcd(A,B).
Доказать: N делится на A*B.

Доказательство.
Рассмотрим разложение произведения A*B на простые множители.
Возьмем из него произвольный член p^k и докажем,
что разложение N на простые множители содержит член p^n, где n>=k.

Обозначим через i>=0 степень p в разложении A,
и через j>=0 степень p в разложении B.
Т.к. степень p в разложении произведения A*B равна k, то k=i+j.
Положим для определенности, что i>=j.
Тогда степень p в разложении gcd(A,B) равна j,
и, значит степень р в разложении произведения A*gcd(A,B) равна i+j.
Но N делится и на A*gcd(A,B), значит, n>=i+j=k.

Т.е. каждого члена p^k из разложения A*B найдется
член p^n (n>=k) из разложения N,
следовательно, N делится на A*B, чтд.

Т.е. мы доказали теорему:
N делится на A*B тогда и только тогда, когда N делится и на A*gcd(A,B), и на B*gcd(A,B).


Вторая теорема из 22373656 доказывается аналогично.


Очевидное следствие из только что доказанной теоремы:
Если N делится взаимнопростые A и B, то N делится на A*B

Не такой уж и бред.
В математике подобный бред называется теоремой.
Здесь, по идее, ищется наиболее слабое утверждение 3.
Чтобы из совокупности трех слабых утверждений следовало одно сильное.

del

Можно добавить более слабое
Утверждение 3 - У некоторого дома растет трава, если она растет у соседнего.

Затем доказать, что на четной и нечетной стороне улицы у каждого дома растет трава, откуда будет следовать
Утверждение 4