Рыночек на Market Square. Особенно, если там уже готовят всякую фигню из рыбы (оказывается, что жаренная селёдка - это офигенно вкусно).
Прогуляться по Esplanadi Esplanadparken, обязательно попить кофе в Kappeli (такая стекляшка) с чем-нибудь.
Helsinki Cathedral и Senate Square перед ним (с памятником Александру II, они его очень любят и уважают) - само собой. В собор можно зайти, интересно.
Православный собор (Uspenski Cathedral - идти от рыночной площади).
Helsinki City Museum (там всё рядом) - про то как фины с нами и шведами боролись
Aleksanterinkatu 16, (ещё один музей истории, это, вроде бы, первое каменное здание в Helsinki).

Ну и так пошляться. Дня-двух хватит. Во второй можно в зоопарк ещё с утреца скататься (он на острове).

Покупать - мумми-троллей (оно их национальное).

Жить или в центре (могу порекомендовать Hotel Fabiani или Next Hotel & Apartments Rivoli Jardin, если с машиной), но гораздо интересней в пригороде в лесу на побережье (отличное место - Best Western hotel Rantapuisto Helsinki).

Есть, где понравится. По кошельку, аппетиту, наличию мишленовских звёзд и т.п.