1. Вы уже каким-то образом деплоите сервис через Axis2, но не говорите как.
2. Glassfish - полноценный JEE сервер. После добавления аннотации он пытается задеплоить сервис согласно JAX-WS, но обрыгивается, так как вы его уже задеплоили через Axis.
3. Tomcat не является полноценным JEE сервером, поэтому не находит какого-то класса JEE.

Intelligent2010В Eclipse создал 'Dynamic Web Project' в src добавил класс. Правой кнопкой по классу.java и выбираю 'Web Service->Create Web Service'.

То есть - куда-то кликал, не особо вникая, что на самом деле происходит. Суть не в том на что вы кликали. А в том какие конфиги и классы при этом создаются и как они потом собираются в JEE модуль и деплоятся.

Intelligent2010Как в проекте указать через что разворачивать?

У каждой IDE есть интеграции с разными серверами. Eclipse-ом не пользуюсь. Но уверен, что в Run/Debug конфигурации там есть возможноть указать сервер. Вы на продакшн сервер тоже Eclipse-ом деплоить будете?

Intelligent2010В Eclipse Service Deployment Configuration можно указать только 3 Web service runtime: Apache Axis, Apache Axis2 и Apache CXF 2.x.
Я правильно понимаю что JAX-WS и AXIS2 - это аналоги, и можно использовать либо то либо другое?

Понимаете в чем дело. Это инструмент для тех кто знает как работает контретая реализация. И он им помогает делать что-то быстрее. Вам нужно не только научится тыкать кнопки и выбирать настройки в IDE, но и понимать что стоит за каждым шагом.
Поэтому стоит взять мануал для конкретного решения и собрать, задеплоить модуль с минимальным привлечением IDE.

Intelligent2010Tomcat был установлен только для того, чтобы убедиться что GlassFish тут не причем.

Странный способ.

Intelligent2010Есть ли проблемы несовместимости конкретных JEE серверов со средами выполнения веб-сервисов?

Я не знаю что такое "среда выполнения веб-сервисов". Есть сервер. Если это полноценный JEE контейнер, то он имеет реализацию JAX-WS спецификации. Например внутри GlassFish есть Metro. Внутри Apache Geronimo - Axis 2.
Tomcat не реализует JAX-WS, поэтому ему нужно подкладывать библиотеки. Либо использовать библиотеки напрямую без JAX-WS.

Intelligent2010Какой (из бесплатных) JEE серверов считается лучшим (во-первых по совместимости, и во-вторых по быстродействию)?

GlassFish хорош в паре с NetBeans для первоначального обучения. Потому что у Oracle есть масса неплохих туториалов для этой связки. В остальном он тормозной и глючный. JBoss, по последним данным, лучший opensource JEE сервер. Tomcat и Jetty - классные легковесные альтернативы.

Intelligent2010Например, мне не удалось задеплоить веб-сервис через CXF на GlassFish (выдает ошибку).
То что вы не можете исправить ошибку не значит что принципиально не интегрируются.
http://cxf.apache.org/docs/application-server-specific-configuration-guide.html#ApplicationServerSpecificConfigurationGuide-Glassfish

Intelligent2010Не понял, поясните, что мешает в Eclipse создать .WAR файл и в GlassFish указать его (или через автоматическое развертывание)?

Мешает то что там несколько разных способов. Вы выбираете случайным образом какой-то один, не понимая что за этим стоит.
Выкиньте Axis2 на помойку и придерживайтесь мануалам по JAX-WS.

Intelligent2010Понятно, переход с .NET простым не получиться.

Теперь понятно. В .NET - одна IDE, один контейнер и один способ сделать Web Service.
В Java - несколько IDE, несколько контейнеров, несколько реализаций Web Service. Гладко интегрировать всё со всем не возможно. Единственная стандартизация это JEE. Но даже в JEE разные реализацию имеют свои нюансы.

Intelligent2010 Только вот вопрос, как выбрать конкретное решение для своих задач? Думал что создав простые проекты через IDE смогу найти нужные компоненты и дальше уже заниматься тонкой настройкой под свои нужды. А тут получается что лучший способ выбрать нужный это ручками все проделать.

Для самообучения лучше взять статью, или туториал по отдельному конкретному инструменту и ручками пройти этот туториал.
Выбор за вами.