archelite1) всю структуру сайта: html странички, скрипты и т.д. скинул в папку Tomcat\webapps\ROOT
2) создал в этой же директории папку WEB-INF в ней подпапки classes и lib, еще там лежит web.xml
3) в classes поместил скомпилированные нетбинсом классы и сервлеты
5) создал папку META-INF и скинул туда манифест

Нафига это всё? Просто .war модуль экспортировать нельзя в NetBeans?

archelite4) в lib поместил jar-ник JDBC-драйвера jtds-1.3.1, который используется для связи с БД

Лучше делать вот так
https://tomcat.apache.org/tomcat-9.0-doc/jndi-resources-howto.html
А драйвер держать в Томкате.
Если у вас драйвер внутри war модуля, то вам нужно его самостоятельно через ServletContextListener выгружать, чтобы избежать учечки памяти в Metaspace.

archeliteПроблема в том, что сервлеты после размещения на апаче не хотят лезть в базу, это становится понятно т.к. сервлет кроме обработки запросов участвует в отрисовке страницы и соответственно не отрисовывает ответ из БД.

Assumption is the mother of all fuckups. Не нужно предполагать то в чем вы не можете быть уверены. Сервлет не участвует ни в каких "отрисовках". Это вообще не GUI.

archeliteНикаких ошибок в логах нет, подскажите пожалуйста в какую сторону копать.
Копать в сторону настройки логов и чтения. Задеплоился ли модуль вообще?