В переменной solverсодержатся данные:
data=
[[-0.008316156031361408, 0.0016597798581932431, 0.004659187846671818],
[-0.1995849827653518, -0.010812949430490144, 0.0046376510670901], [
-0.5602573868385053, -0.42889787813239394, -0.010873895267668882]]
pivot=[0, 1, 2];

singular= false

после
Код Java(TM) 2 Platform Standard Edition 5.0
1
RealMatrix X = solver.getInverse();
X
data=[[-162.2928234618888, -43.93250490004384, -59.39536353398343],
[-43.93250490004383, -109.39867779872003, -39.442892135224696],
[-59.39536353398342, -39.442892135224696, -91.96336504851932]]

Собственно вопрос. Какие математические операции были произведены для получения такой матрицы в X?

Неверно. я тоже сначала проверял этот вариант.
Обратная матрица умноженная на изходную должна дать единичную. Тут же получается
43.394612 25.680215 -0.314037
44.297854 18.026977 -0.283145
59.889305 39.770803 0.540343
Как то не очень похожа на единичную)

http://www.bl2.ru/matematic/matrix/mult.html
если неврете мои расчетом, проверте здесь.

BlazkowiczА в чем поинт? Apache Commons Math. JavaDoc есть. Исходники есть.

Можете подсказать где его найти?

BlazkowiczJavaDoc
http://commons.apache.org/proper/commons-math/apidocs/
JavaDoc вашего solver-а
http://commons.apache.org/proper/commons-math/apidocs/org/apache/commons/math3/linear/DecompositionSolver.html
Скачать бинарники, исходники:
http://commons.apache.org/proper/commons-math/download_math.cgi
Посмотреть исходники в SVN
http://svn.apache.org/viewvc/commons/proper/math/trunk/

может сомной что-то не так) но все что я нашел это документация. и некая подобия хедера, без текста реализации.
собсвенно вот:
public interface DecompositionSolver {

/** Solve the linear equation A × X = B for matrices A.
* <p>The A matrix is implicit, it is provided by the underlying
* decomposition algorithm.</p>
* @param b right-hand side of the equation A × X = B
* @return a vector X that minimizes the two norm of A × X - B
* @throws org.apache.commons.math3.exception.DimensionMismatchException
* if the matrices dimensions do not match.
* @throws SingularMatrixException
* if the decomposed matrix is singular.
*/
RealVector solve(final RealVector b);

/** Solve the linear equation A × X = B for matrices A.
* <p>The A matrix is implicit, it is provided by the underlying
* decomposition algorithm.</p>
* @param b right-hand side of the equation A × X = B
* @return a matrix X that minimizes the two norm of A × X - B
* @throws org.apache.commons.math3.exception.DimensionMismatchException
* if the matrices dimensions do not match.
* @throws SingularMatrixException
* if the decomposed matrix is singular.
*/
RealMatrix solve(final RealMatrix b);

/**
* Check if the decomposed matrix is non-singular.
* @return true if the decomposed matrix is non-singular.
*/
boolean isNonSingular();

/** Get the inverse (or pseudo-inverse) of the decomposed matrix.
* @return inverse matrix
* @throws SingularMatrixException
* if the decomposed matrix is singular.
*/
RealMatrix getInverse();
}

это и есть все что хранится в файле DecompositionSolver.java

Blazkowicz, я вам очень благодарен за такое участие в решение моей проблемы.
Я просмотрел ваши сылки. Там описан солвер и как его использовать. Я знаю как он применяется, и в целом описанны методы. Но нет реализации , и подробного описания, про метод getInvers.

Я еще раз извеняюьс за свою невнимательность, если что то пропустил.