Объясню на примере Tomcat.
Как уже сказали, Tomcat - это сервер приложений, но это "обрезанный" сервер приложений, поскольку представляет собой только контейнер сервлетов. Т.е Tomcat в своем контексте контейнера сервлетов способен выполнять только приложения, соответствующии спецификации сервлетов. (такие приложения написаны по определенным правилам/стандартам).
Вэб-сервис - это программа, работающая под управлением сервера приложений, но работающая уже по другим правилам и соответствует другой спцификации, нежели сервлет.
А такая реализация вэб-сервиса как Axis способна работать под Tomcat-ом лишь потому, что ядро этого вэб-сервиса представляем собой сервлет, который эмулирует спецификацию вэб-сервисов.