if OpenDialog.Execute then
  begin
    FilePath:=OpenDialog.FileName;
  end;

...

Lst:=TStringList.Create;
    try
       { AssignFile(FileStr,FileName);
        Reset(FileStr);
        while not Eof(FileStr) do
        begin
          ReadLn(FileStr,TextStr);   
          Lst.Add(TextStr);
        end;
        CloseFile(FileStr); }

        Lst.LoadFromFile(FilePath);

        ShowMessage(Lst.Text);
    finally
      FreeAndNil(Lst);
    end;

begin
  ErrorCode := Byte(MapException(P));
  case ErrorCode of
    3..10, 12..21:
      E := ExceptTypes[ExceptMap[ErrorCode].EClass].Create(ExceptMap[ErrorCode].EIdent);
    11: E := CreateAVObject;
  else
    E := EExternalException.CreateFmt(SExternalException, [P.ExceptionCode]);
  end;
  if E is EExternal then EExternal(E).ExceptionRecord := P;
  E.RaisingException(P);
{$IFDEF AUTOREFCOUNT}
  E.__ObjAddRef;
{$ENDIF}
  Result := IntPtr(E);
end;

11: E := CreateAVObject;

unit uMain;

interface

uses
  Winapi.Windows, Winapi.Messages, System.SysUtils, System.Variants, System.Classes, Vcl.Graphics,
  Vcl.Controls, Vcl.Forms, Vcl.Dialogs, Vcl.StdCtrls,
  IniFiles;

type
  TMain = class(TForm)
    Memo1: TMemo;
    Button1: TButton;
    OpenDialog: TOpenDialog;
    procedure Button1Click(Sender: TObject);
  private
    { Private declarations }
  public
    { Public declarations }
  end;

var
  Main: TMain;

implementation
{$R *.dfm}
Uses uFunc;

procedure TMain.Button1Click(Sender: TObject);
var
  FilePath:string;
  Lst:TStringList;
begin
  if OpenDialog.Execute then
  begin
    FilePath:=OpenDialog.FileName;  //ShowMessage(FilePath);  // тут тоже никаких проблем
  end;

  //Memo1.Lines.LoadFromFile(FilePath);  // все прекрасно

  Lst:=TStringList.Create;
  try
    Lst.LoadFromFile(FilePath);
    //Memo1.Text:=Lst.Text;   //тут все атлично работает
    FilePath:=Lst.Text;           // ну тут на всякий случай, если без доп. ПЕРЕМ все то же
    ShowMessage(FilePath);    //а вот тут непонятное
  finally
    FreeAndNil(Lst);
  end;
end;


initialization
  ReportMemoryLeaksOnShutdown := True;
end.