"вываливание" комбобокса (по человечески звучит "Открытие")
combobox1.DroppedDown:=true;
закрытие - combobox1.DroppedDown:=false;

но твою задачу я реализовал бы по другому

создаем форму, на ней - edit, рядом с которым кнопка. создаем панель, на ней рисуем treeview, dbgrid и все что тебе надо, ставим visible у панели в false. при нажатии на кнопку, меняем координаты панели на координаты "под эдитом", ставим визибл панели в true, позволяем польззователю выбрать что он хочет, ну а потом скрываем панель (visible:=false) ну или воспользуйся компонентом dxPopUpEdit, из библиотеки компонентов Developer Expres