1. Делаем так:
StringGrid1.Options :=
StringGrid1.Options + [goRowMoving]; // и строки будут перетаскиваться за из заголовки (ну, слева там серые поля)
2. Наследуем TStringGrid в свой собственный класс, все оставляем без изменения, только публикуем метод
procedure DeleteRow(ARow: Longint); virtual;

И пишем процедуру на нажатие кнопки "удалить"

3. Если лень делать пункт 2., то делаем так:
- последовательно переносим значения всех строк от текущей и ниже к текущей
- последнюю строку удаляем:

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);
var i, j : integer;
oldRow : integer;
begin
oldRow := StringGrid1.Row;
for i := 0 to StringGrid1.ColCount-1 do
for j:= oldRow to StringGrid1.RowCount do
StringGrid1.Cells[i,j] := StringGrid1.Cells[i,j+1];

StringGrid1.RowCount := StringGrid1.RowCount - 1;
end;

Ну, ты еще хочешь, чтобы тебе дизайн разработали, не только начинку?