(x - a1)^ 2  + (у - b1)^ 2 =r1^ 2 
(x - a2)^ 2  + (у - b2)^ 2 =r2^ 2 

(у - b1)^ 2 =r1^ 2  - (x - a1)^ 2 
у - b1=sqrt(r1^ 2  - (x - a1)^ 2 )
y=sqrt(r1^ 2  - (x - a1)^ 2 ) + b1

(x - a2)^ 2  + (sqrt(r1^ 2  - (x - a1)^ 2 ) + b1 - b2)^ 2 =r2^ 2 

Пусть нужно найти пару точек P3 пересечения, если они существуют.

Для начала найдем расстояние между центрами окружностей. d = || P1 - P0 ||. Если d > r0 + r1, тогда решений нет: круги лежат отдельно. Аналогично в случае d < || r0 - r1 || - тогда нет решений, так как одна окружность находится внутри другой.

Рассмотрим два треугольника P0P2P3 и P1P2P3. Имеем

a^ 2  + h^ 2  = r0^ 2  and b^ 2  + h^ 2  = r1^ 2 

Используя равенство d = a + b, мы можем разрешить относительно a:

a = (r0^ 2  - r1^ 2  + d^ 2  ) / ( 2  d)

В случае соприкосновения окружностей, это, очевидно, превратится в r0, так как: d = r0 + r1

Решим относительно h, подставив в первое уравнение h^ 2  = r0^ 2  - a^ 2 
Итак,

P2 = P0 + a ( P1 - P0 ) / d

Таким образом, получаем координаты точек P3 = (x3,y3):

x3 = x2 +- h ( y1 - y0 ) / d

y3 = y2 -+ h ( x1 - x0 ) / d 

Решим относительно h, подставив в первое уравнение h^ 2  = r0^ 2  - a^ 2 

(x - a1)^ 2  + (у - b1)^ 2 =r1^ 2 
(x - a2)^ 2  + (у - b2)^ 2 =r2^ 2