Можно. Причём несколькими разными способами.

https://dev.mysql.com/doc/refman/8.0/en/string-functions.html

А кто заставляет сразу на боевом сервере-то делать?

Сделайте копию таблицы, 10-20 записей за глаза, и на ней тренируйтесь. Получилось неправильно - удаляете попорченные записи и копируете новые, пробуете другой запрос... Или сделайте online fiddle (я предпочитаю https://dbfiddle.uk/?rdbms=mysql_8.0 или, если надо создавать процедуры/функции/триггеры, https://www.db-fiddle.com) на основе дампа структуры и образца данных. Данные можно подсократить - поудалять явно не участвующие в действии поля, урезать длинный HTML-текст до обозримого состояния.

Теоретически надо рассмотреть ситуации (возможно, "нестандартные" записи придётся создавать вручную, но на них НУЖНО протестировать решение):

- нормальный текст с 2 или более тегами H2
- нормальный текст с одним тегом Н2 или вообще без такого тега
- те же варианты, но содержащие подстроку H2 в тексте, т.е. не являющейся тегом

Алгоритмически - надо устойчиво опознать тег и определить его местоположение в тексте. Есть INSTR/LOCATE, есть SUBSTRING_INDEX, регулярки в конце концов. Вот и развлекайтесь. Задача - либо отделить подстроку до второго тега, либо точно определить смещение тега, а также получить true/false (точнее 1/0) факта наличия второго тега в строке.

Кстати, укажите точную версию MySQL - возможности 5+ и 8+ сильно различаются.