Вообще, для MySQL достаточно скопировать соответствующую директорию при остановленном сервере mysqld. Но это не является стандартным способом переноса баз данных. Для этого обычно используют т.н. дамп базы -- текстовый файл, формируемый специальной утилитой, содержащий SQL-запрос, формирующий структуру базы и заполняющий её данными.
В данном случае надо найти утилиту mysqldump, которая лежит где-то в директории bin, полагаю. Она устанавливается вместе с MySQL. Используется она следующим образом:
Тут надо заменить user на пользователя, который имеет доступ к базе, database на название базы, а dump.sql -- это название файла, который будет в результате сформирован, его можно указать любым понятным, сохранив расширение.
Так как дамп базы -- суть текстовый файл, он может оказаться довольно громоздким. Зачастую можно сжать дамп каким-либо распространённым архиватором, обычно zipом, но лучше уточнить этот момент у предполагаемого хостера.