Маленькие дополнения
1. Т.к. MS SQL Server 7, то пользовательских функций там еще нет, а вот формулу в качестве столбца можно использовать.

2.
т.к. обновляться может несколько записей, то в тригере надежнее сделать так
UPDATE TableName SET Hash= new_value FROM TableName INNER JOIN inserted ON TableName.ID = inserted.ID
либо проверять количество обновляемых записей

1. Уточнаю - я говорил про тоже, что и arnad, т.е. про вычисляемый столбец(computed column). Это столбец, значение которого получается из значений других столбцов этой же таблицы (в SQL2000 можно использовать и функции, что дает возможность использовать данные из других таблиц). Т.е. это именно вычисляемое выражение.

Насчет доступности вычисляемых столбцов. Работает ли у вас следующий скрипт ?
create table #temp(f1 int, f2 as f1*10)
insert into #temp values(1)
insert into #temp values(5)
select * from #temp
drop table #temp

2. Т.к. у вас SQL7, а там есть только триггеры AFTER, то ответ - да, эти записи в таблице TableName, НО остануться ли они там, зависит от результатов работы триггера.

3.
- Насколько все-таки сложна вашу процедура ? Может быть все-таки можно преобразовать ее в выражение и использовать в запросе ?
- Можно так же обновлять/добавлять данные по одной записи
- Как вы пытаетесь использовать курсор в триггере - покажите код, место и сообщение об ошибке

CREATE TRIGGER TableTrigger ON [TableName]
FOR INSERT, UPDATE
AS
BEGIN
DECLARE @ID INT,
@Name VARCHAR (80),
@Hash INT
DECLARE insertedCursor CURSOR FOR
SELECT ID, Name
FROM inserted
IF UPDATE(Name)
BEGIN
OPEN insertedCursor
FETCH insertedCursor INTO @ID, @Name

WHILE @@FETCH_STATUS = 0
BEGIN
EXECUTE sp_GetHash @Name, @Hash OUTPUT

UPDATE [Goods] SET Hash = @Hash WHERE ID = @ID
FETCH insertedCursor INTO @ID, @Name
-- для того, чтобы @@FETCH_STATUS стало = 0
END

CLOSE insertedCursor
DEALLOCATE insertedCursor
END
END