fdsjk прохожий1... А значит на этом множестве задано 'отношение порядка'. Каждый знает это отношение порядка так как пользуется им при поиске в словаре нужного слова. На каком носителе и где зафиксировано это 'отношение порядка' как множество?

например

Элементом множества в словаре является слово, а не буква.

Я понимаю что все здесь непревзойденные эксперты по теории множеств, к которым я себя не отношу. Но меня не оставляет ощущение что дурят математики народ.

Понятно что отношение порядка имеет смысл рассматривать только в контексте упорядочивания множеств. Я все таки раздобыл несколько книжек, что бы посмотреть как там это дело определяется.

Открываю классический труд Хаусдорфа ‘Теория множеств’. Следующее определение упорядоченного множества:

‘Множество упорядочено, если указано правило, по которому из каждых двух элементов один оказывается предшествующим, другой – последующим.’ Как все раньше было просто.

Вообще не нашел там термина ‘отношение порядка’. Тем не менее автор дает три подхода к упорядочиванию множества и только один из них связан с ‘упорядочивающим множеством пар’, в котором можно узнать то самое подмножество R декартова произведения. Хаусдорф при этом четко определяет, что множество становится упорядоченным, а множество R упорядочивающим, только если выполняется соглашение: если пара элементов множества (а,b) принадлежит R, то а<b. То есть R само по себе не имеет смысла пока мы не определим как его интерпретировать. Соответственно это логическое соглашение (следование ему) и является ЗАДАНИЕМ порядка на множестве с ПОМОЩЬЮ множества R.

Хаусдорф пишет: ‘..и наоборот каждое данное упорядочение приводит к разбиению R+R*, если причислять к R те и только те пары (а,b) для которых a<b’.

То есть признается что упорядочение может быть первичным (полученным без использования R) и что по УЖЕ СУЩЕСТВУЮЩЕМУ упорядочению можно получить множество R.

Открываем уже упоминавшуюся книжку Александрова. Там дается следующее определение:

‘Множество Х, состоящее из каких угодно элементов, называется ‘частично упорядоченным’, если в нем установлено ‘отношение порядка’, т.е. для некоторых пар x, x’ его (различных) элементов известно, что один из них предшествует другому, например эдемент x предшествует элементу х’, что записывается так: x<x’ или x’>x.
При этом предполагается, что отношение порядка удовлетворяет следующему условию транзитивности: если x<x’ и x’<x’’, то x<x’’.
Если в данном частично упорядоченном множестве Х отношение порядка установлено для любых двух разных элементов, т.е. для любых двух разных элементов x,x’ один предшествует другому, т.е. верно одно и только одно из двух отношений x<x’ или x>x’, то частично упорядоченное множество называется ‘линейно упорядоченным’ или просто ‘упорядоченным’.’

Вот все что там есть про ‘отношение порядка’. Не нашел даже намека на то что отношение порядка должно задаваться с помощью множества, а тем более являться множеством. Возникает вопрос ‘академик Александров – дибилл? (с) ЛП’. И кстати что такое отношение между двумя элементами множества x<x’ упоминаемое в определении? Если любое отношение – это множество, то как оно может быть верным? Разве множество может быть верным? Академик совсем спятил? Или все таки термин отношение может означать не только множество?

Перейдем от абстрактных множеств к конкретным. Путь имеется 100 деревьев и я их упорядочил по диаметру их ствола (для простоты предположим что значения диаметров уникальны). То есть правило упорядочивания: если a.диаметр<b.диаметр, то a<b. Правило задает отношение порядка на моем множестве (по определению если множество упорядочено, то на нем задано отношение порядка).

1) Содержит ли в себе правило упорядочения непосредственное определение элементов какого либо множества? Нет.

2) Содержит ли правило упорядочения в себе алгоритм формирования какого либо множества? Нет.

3) Достаточно ли мне правила упорядочения, что бы переупорядочить множество при добавлении нового элемента? Да.

4) Могу ли я придумать алгоритм, что бы исходя из элементов множества и правила упорядочивания сгенерировать какое либо другое множество? Да, сколько угодно. В том числе сгенерировать R.

5) Могу ли я скажем исходя из элементов множества и правила упорядочивания сделать преобразование Фурье (то же ведь множество) или еще какую нибудь загогулину? Да, сколько угодно.

6) Помогает ли мне какая либо из операций 4) и 5) переупорядочить множество при добавлении нового элемента? Нет.

Так почему же для моего упорядоченного множества с заданным отношением порядка, я должен говорить, что отношение порядка – это множество. У меня нет никакого упорядочивающего множества и нет никакого алгоритма как это упорядочующее множество создать, то есть у меня R не задано, а порядок тем не менее задан. То есть существует упорядоченное множество и я могу его успешно переупорядочить при добавлении нового элемента.

Например у Судоплатова в «Дискретной математике» вводится понятие ‘матрица бинарного отношения’. Действительно порядок на множестве можно задать с помощью матрицы. Конечно матрица это то же множество строк и столбцов, но это совсем не подмножество декартого произведения. Но порядок то задает. Может получиться что из-за каких то своих положительных свойств матричный подход получит распространение и во всех книжках начнут писать что ‘множество вместе с заданной на нем матрицей порядка называется упорядоченным’. И как сейчас ‘говорим Партия подразумеваем Ленин’, то есть правило упорядочивания – это якобы всего лишь хитрый способ задать отношение R, так и тогда будут говорить, что отношение R это на самом деле всего лишь хитрый способ задать матрицу отношения.

Я веду к некоторой крамольной мысли. А если считать ВСЕ последующие определения правильными.

1) ‘Множество вместе с заданным на нем правилом (алгоритмом, предикатом...) порядка называется упорядоченным’ (Хаусдорф)

2) ‘Множество вместе с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным’ (современность)

3) ‘Множество вместе с заданной на нем матрицей порядка называется упорядоченным’ (возможное будущее)

При этом понятно что правило может быть приведено к отношению R, а отношение R к матрице (матрица это условное название, - что будет лет через 50 непонятно). Как бы диалектика получается.


Вот такие вот сомнения.

U-geneВот вам отношение между двумя множествами {1,2}
1 1
1 2
2 2
Ищите эквивалентную функцию

Это все равно что сказать 'найдите смысл числа 6'. Множество кортежей обладающее свойствами антисимметричности и транзативности является просто множеством кортежей. Оно становится отношением порядка (я предпочитаю говорить что с помощью него задается отношение порядка) если ему назначается опредленная семантика, то есть 'если (а,b) принадлежит R, то а меньше или равно b'.

Зачем искать функцию, если порядок может быть задан используя само это множество, и наоборот зачем искать множество если порядок может быть задан используя функцию.

U-gene Я просто прошу дать функцию эквивалентную этому отношению,
Ну, например Z=(X<=Y), где '<=' - это меньше или равно, TRUE=1. Эта функция работает при любой области определения. Я думаю вы быстро устанете если попытаетесь расписать кортежи, когда область определения будет не [1,2], а хотя бы [1,...,20].

U-gene потому как тут проскальзывают глобальные замечания (от mir), что де множество можно определит через функцию (при этом mir не уточняет что не любое отношение является функциональным...хотя может он подразумевал контекст беседы:) ). Из этого в частности следует, что отношение - более универсальное понятие, чем функция.
В теории сигналов используется например дельта-функция(x). Она везде равна нулю. В точке х она равна бесконечности, а интеграл по этой функции равен 1. Как Вы зададите эту функцию с помощью отношения? Или скажем функцию автокорреляции?


U-gene Ваша мифическая функция есть не более чем следствие существования такого отношения. Вам в детстве сказали, что 2>1 и теперь Вы говорите "ну это же очевидно", "это же правило"!
Существует реальный мир. И функции и отношения существуют только у нас в голове в попытке этот мир познать.

U-geneЕсли символы "1", "2", "3" рассматривать как элементы неупорядоченного множества, то откуда Вы это правило или эту функцию вообще возьмете?
Из головы конечно. Раз я рассматриваю что то как множество, значит элементы множества различимы. Соответственно правило должно быть основано на их различии.

Вопрос конечно интересный, но мне неохота тратить много времени. Напоследок приведу пример который вобщем то уже приводил.

Построим матрицу где каждому элементу множества соответсвует один столбец и одна строка. Затем определим всякие свойства этой матрицы (например рефлексивности будет соответствовать единичная диагональ, и т.п.). Затем я определю, что матрица обладающая свойствами антисимметричности и транзитивности называется матрицей порядка, а множество с заданной матрицей порядка называется упорядоченным.

Что то не так? Множество то получилось упорядоченным. Матрица НЕ ЯВЛЯЕТСЯ подмножеством декартого произведения, а значит не является отношением порядка. Но ведь это ужас - у нас существует упорядоченное множество без заданного отношения порядка. Тогда вы говорите 'так это ты на самом деле с помощью матрицы порядка хитрым способом задаешь отношение порядка'. А я говорю 'ничего подобного, это вы задавая отношение порядка на самом деле задаете матрицу порядка'. Вы спрашиваете 'почему?'. Я отвечаю 'по определению'. Вы говорите 'твое определение не верно'. Я спрашиваю 'почему?'. Вы отвечаете 'потому что в энциклопедии написано по другому'. Тут мне крыть конечно нечем :-).

vadiminfoНу как же, не просто намек, об этом сказано явно: "... если в нем установлено ‘отношение порядка’, т.е. для некоторых пар x, x’ его (различных) элементов известно, ..."

Некоторые пары это и есть подмножество множества пар.
Но если Вы заметили, Александров нигде не говорит, что 'отношение порядка' это и ЕСТЬ множество всех пар для которых известно...

У него как раз определение сводится к фундаментальному понятию "предшествовать", независимо от того как это предшествование задано - правилом, множеством или матрицей.

4321 По крайней мере есть некая теорема, кажется "о неполноте", которая, как мне показалось, что-то похожее утверждает. Т.ч. остается путь бесконечного опыта по части применения тех или иных способов мышления мира.
Это теоремы Геделя. Насколько я понял он доказал, что
во всякой теории есть истинное утверждение, истинность или ложность которого не выводится в этой теории. И что во всякой теории утверждение о непротиворечивости этой теории не является выводимым в ней.

Юрий Носов прохожий1 Матрица НЕ ЯВЛЯЕТСЯ подмножеством декартого произведения, а значит не является отношением порядка.
С этого места поподробнее, пожалуйста. IMHO в Вашем примере матрица является превосходной моделью для подмножества декартова произведения. Разве нет? Я вот например именно так себе декартово произведение и представляю :) Или я неправ?

Декартово произведение степени 2 на множестве - это множество кортежей (пар) состоящее из всех возможных сочетаний элементов множества. Матрица это в данном случае таблица имеющая по одному столбцу и по одной строке на каждый элемент множества. На пересечении любого столбца и строки задается значение 0 или 1.

Соответственно задание порядка на множестве с помощью множества R производится как

'если (а,b) принадлежит R, то а<b'

задание порядка на множестве с помощью матрицы задается как

'если M[а,b]=1, то а<b'