Сравню с Firebird:
Оба open-source, имеют понятный и уважающий стандарты синтаксис.

Преимущества H2:
1) Очень удобно использовать с Java приложениями.
1.1 Движок можно срастить с самой прогой без лишнего напряжения. Фаер тоже можно, но нужны шаманства с библиотеками и с вариантами для каждой конкретной платформы.
1.2 Легко срастить не с самой прогой, а с сервером приложений вроде Glassfish/JBoss. Фаер нужно настраивать и контролировать отдельно.
1.3.Триггеры и ХП пишутся на Java. Преимущество в более мощном языке небольшое, но оно есть. Новичка не надо обучать новому языку. Все Java.
2) Расширения к SQL, которых в фаере нет.

.
Мелочь, а приятно облегчает жизнь скриптописателя. Сам язык столь же мощен как у фаера.
3) Есть базы данных в памяти.
4) Документация из коробки намного лучше. Хелен Борри сравнивает счет, но ее книга вместе с фаером не идет. Также с консолью. У H2 консоль простенькая, но для фаера консоль только текстовая. IBExpert или FlameRobin надо качать отдельно.

Теперь, естественно, недостатки:
1) H2 медленнее.
2) Преимущества Java работают только с Java. Компилируемые языки сращиваются с Firebird намного лучше, а .NET все-таки нелепо объединять с Java машиной.
3) У фаера есть система событий, что может хорошо сэкономить производительность в ряде приложений.

На мой личный взгляд, когда пишем приложение для высокой нагрузки - лучше фаер. Когда скорость не так критична, Web приложение, обучение, на Java, то H2 выглядит лучше. Явного преимущества у одного над другим нет. Каждый имеет свою нишу и в ней может обскакать конкурента.

Могу добавить, что небольшие Web приложения, встроенные БД я сам делаю на H2. Она хорошо экономит время у разработчика и админа при развертывании на сервере. А клиент-серверные делал как раз на Firebird. Здесь преимущество фаера в скорости, события самое то.