Группа должна иметь такое же имя, как и краткое название домена, а не FQDN. То есть если у вас домен AAA.TEST.LOCAL, то группа - AAA. С другой стороны, имя группы не влияет на отображение имен компьютеров в "Сетевом окружении" или возможности обращаться к сетевым ресурсам по имени хоста - тут все зависит от того, как разрешаются имена.

Для разрешения имен - либо должен быть поднят локальный DNS-сервер, либо WINS-сервер, либо на ноуте и хотя бы на одной из машин домена должна функционировать служба "Обозреватель компьютеров", либо соответствия должны быть прописаны в файле hosts. При этом необходимо проверить, как именно происходит разрешение имен на ноуте.