В принципе, у Яндекс-Диска есть приложения для различных платформ https://disk.yandex.ru/download/?from=webinterface#pc
Работает довольно просто. Будучи запущенным, оно мониторит указанную в конфиге локальную директорию и при обнаружении изменений синхронизирует её с сервером.
Чтоб из десктопного веб-браузера можно было без проблем переместить файл из одной директории в другую - это надо сперва опустить ниже плинтуса уровень безопасности браузера. Гораздо проще это сделать руками из файлового менеджера.
Вариант запуска демона яндекс-диска на хостинговом сервере, в принципе, может прокатить. Тогда просто заливаем через форму файл на сервер, кладём его в указанную в конфиге директорию, а дальше демон закинет его на яндекс-диск.