$_SESSION - это некий файл во временной папке файловой системы, внутри все хранится в виде строк (сериализация), результат функции serialize.
А теперь скажите, как можно записать в виде строки "идентификатор соединение с базой", который представляет двоичный ресурс?
В течение всего времени скрипта вы конечно можете туда записывать что угодно, и извлекать в том же виде, это же ведь переменная, и из любых других скриптов которые загружаются в текущем сеансе.
Но после завершения текущего сеанса работы, PHP сериализирует весь этот массив ($_SESSION) и записывает на диск.
При повторном обращении файл считывается и заполняет $_SESSION, при помощи unserialize и вы видите вновь эти переменные.
В вашем случае, сайт/страница каждый раз делают соединение с базой вновь и просто пишут в $_SESSION новый идентификатор, для ajax нужно поступать точно так же - делать новое соединение и записывать в $_SESSION что бы не ломать работу уже того что есть.