function displayMessages() {
  for(var i=0; i<idArray.length; i++) {
    ...
    htmlMessage+="<div class='name' onclick='whisperTo(\""+name+"\")'><b>"+name+"</b>: </div>";
    ...
  }
}

function whisperTo(name) {
  document.getElementById("messageBox").value=name+'>'+
                                                                            document.getElementById("messageBox").value;
}

<div class='name' onclick='whisperTo("Guest909")'><b>Guest909</b>:</div>

function displayMessages() {
  for(var i= 0 ; i<idArray.length; i++) {
    ...
    htmlMessage+="<div class='name' onclick='alert()'><b>"+name+"</b>: </div>";
    ...
  }
}

function displayMessages() {
  for(var i= 0 ; i<idArray.length; i++) {
    ...
    htmlMessage+="<div class='name' onclick='alert(\""+name+"\")'><b>"+name+"</b>: </div>";
    ...
  }
}