лови исключение и смотри что происходит, проще говоря - ошибку CDO в студию :) Наверняка сервер не требует авторизации прирассылке почты локальным адресам, а при посылке на внешние нужно авторизоваться.

С этим:

COMException (0x8004020f): The server rejected one or more recipient addresses. The server response was: 550 5.7.1 Unable to relay for name@domain.com.

можно бороться авторизируясь:
MailMessage mail = new MailMessage();
mail.To = "me@mycompany.com";
mail.From = "you@yourcompany.com";
mail.Subject = "this is a test email.";
mail.Body = "Some text goes here";
mail.Fields.Add("http://schemas.microsoft.com/cdo/configuration/smtpauthenticate", "1"); //basic authentication
mail.Fields.Add("http://schemas.microsoft.com/cdo/configuration/sendusername", "my_username_here"); //set your username here
mail.Fields.Add("http://schemas.microsoft.com/cdo/configuration/sendpassword", "super_secret"); //set your password here

SmtpMail.SmtpServer = "mail.mycompany.com"; //your real server goes here
SmtpMail.Send( mail );