какая версия VS?
чтобы localdb работал нужна определённая версия базы и она должна быть установлена в системе
поставьте бесплатную v.11 localdb

PS
и в строке соедиенения надо указывать (localdb) с маленькой буквы




Starting with this VS2015, the team is moving away from version dependent connection strings. That means, once you adopt VS 2015, you have the option of using a version independent connection string moving forward. That’s the first recommendation:

To fix this issue for now, and future versions of Visual Studio, replace the version dependent connection string (e.g. “v11.0”) with “MSSQLLocalDB”.

However, you may need to continue to work with team members that are still using VS 2013. If that’s the case, you can follow the second recommendation:

Install the Version 11 LocalDB, which is free. You can then use Visual Studio 2015 (preview), but your database engine will be MSSQL LocalDB version 11.0.

правильно, это строка как раз для того чтобы не зависеть от версии базы. но если у вас ничего не стоит, тьо и работать не будет.
а вот это вообще никак не в тему:

так работает или не работает и что конкретно не работает?
вы только путаете всех своими ответами и не читаете ответы других

Для работы через ADODB эти строки:

http://www.connectionstrings.com/sql-server/

LocalDB automatic instance
Server=(localdb)\v11.0;Integrated Security=true;

The first connection to LocalDB will create and start the instance, this takes some time and might cause a connection timeout failure. If this happens, wait a bit and connect again.

SQL Server 2012 LocalDB automatic instance with specific data file
Server=(localdb)\v11.0;Integrated Security=true;AttachDbFileName=C:\MyFolder\MyData.mdf;

SQL Server 2012 LocalDB named instance
To create a named instance, use the SqlLocalDB.exe program. Example SqlLocalDB.exe create MyInstance and SqlLocalDB.exe start MyInstance

Server=(localdb)\MyInstance;Integrated Security=true;

SQL Server 2012 LocalDB named instance via the named pipes pipe name
The Server=(localdb) syntax is not supported by .NET framework versions before 4.0.2. However the named pipes connection will work to connect pre 4.0.2 applications to LocalDB instances.

Server=np:\\.\pipe\LOCALDB#F365A78E\tsql\query;

Executing SqlLocalDB.exe info MyInstance will get you (along with other info) the instance pipe name such as "np:\\.\pipe\LOCALDB#F365A78E\tsql\query".

SQL Server 2012 LocalDB shared instance
Both automatic and named instances of LocalDB can be shared.

Server=(localdb)\.\MyInstanceShare;Integrated Security=true;

Use SqlLocalDB.exe to share or unshare an instance. For example execute SqlLocalDB.exe share "MyInstance" "MyInstanceShare" to share an instance.

GROM17Konst_One,
программа работает со строкой подключения, сформированной VS в режиме конструктора.
В дальнейшем мне нужно работать в коде: в частности подключиться к БД.

и как вы пытались в коде это сделать?

вот тут 19179536 уже советовали такую строку:

ваш код выкладывайте и полный exception