Нужно позвонить с хардварного сип-телефона, зарегистрированного на сервере Asterisk, на заданный номер, нажав на кнопку в приложении.

Знаю, что с астериск-сервером можно общаться через сокет как почтовым сервером посредством какого-то протокола.
Знаю про эту довольно поверхностную документацию: http://asterisk.ru/knowledgebase/Asterisk manager API

В какую сторону копать дальше?

Разобрался.

Замечено: чем быстрее создашь тему на скуле, тем быстрее сам разберешься.

Shocker.ProЧем быстрее НАЧНЕШЬ создавать тему.Это если разбираешься в предметной области. А если влезаешь в еще неизведанную, то без создания не обойтись.

КвазиAntonariyРазобрался.
и куда копать? )Нашел скрипт на php, который умеет это делать, его пхпист залил куда надо, я дергал соответствующий урл из софтины. Но скрипт не найду, уже много времени прошло. И что-то на самом астериске подкрутить надо, не сразу зазвонил.

Что-то вроде этого, но не этот конкретно

https://wiki.merionet.ru/ip-telephoniya/43/web-callback-na-asterisk-svoimi-rukami/