Изучающий си решеткаПочему когда я в среде Visual Studio даю команду построение -> построить решение, то файлы появляются и в папке bin, и в папке obj?
Потому что разработчики компиляторов/среды решили что так нужно.

Изучающий си решеткаМожно как-то сделать так, чтобы решение появлялось только в bin?
Нет. Просто не обращаай внимание на папку obj и всё.

Изучающий си решеткаКогда компилирую решение в виде файла библиотеки .dll, то в этой же папке появляется файл Source Browser Database. Для чего этот файл нужен?
Может Program Debug Database (*.pdb)?

Изучающий си решетка, в pdb файле хранится информация для отладчика, но он может использоваться и во время исполнения. Например, при построении трассировки стека для исключения. Его можно убрать, но лучше не надо. Если он тебе не нужен - игнорируй его. Если понадобится, то он уже есть.

Изучающий си решеткарасширение .pdb но называется Source Browser Database
Правильное название все-таки "Program Debug Database". У тебя видиио установлено какое-то не Microsoft приложение которое использует файлы с расширением pdb для других целей.

AxeleronСоздается при компиляции в Debug mode.
В Release он тоже создается, но содержит меньше информации.

Изучающий си решетка, если проект библиотеки и проекты использующие её находятся в одном солюшене, то убедись что ты сделал project reference на библиотеку, а не указал явно файл из папки debug или release.

Если проекты находятся в разных солюшенах, то reference на dll файл это единственный вариант и он должен работать без проблем при условии что dll файл на месте.

Изучающий си решеткаОдин раз проект потребовал строгую подпись.
Скорее всего ты компилировал сборку со строгим именем и сделал ссылку на сборку без него. Из соображений безопасности это не разрешено. Сборка со строгим именем может ссылаться только на сборки со строгим именем.

Изучающий си решеткаПробовал устанавливать свойство "Копировать локально" в False, тоже не помогает.
Верни обратно в true. У тебя похоже сборка без строго имени и она должна лежать рядом с exe чтобы приложение могло найти её и загрузить. Copy Local = true это обеспечит.

Изучающий си решетка, копирование библиотек в папку рядом с exe необходимо потому что именно так работает .NET. Если тебя это не устраиваает, то подписывыай сборки строгим именем и добавляй их в GAC. Тогда они будут в одном месте, VS не будет их копировать, но надо будет следить за актуальностью версии в GAC и также, возможно, подписывать другие сборки.

Если тебе так жалко места, то выполняй команду Build -> Clean перед созданием резервных копий или просто удаляй папки bin/obj. VS создаст их заново перед компиляцией.

Изучающий си решеткаКогда долго работаю над несколькими проектами, то через каждые день-два скидываю на внешний носитель и почтовые ящики эти промежуточные варианты проектов, получается история разработки, если нужно вернуться к пред-предыдущим вариантам.
Для этого лучше использовать систему контроля версий. Даже если ты работаешь один. В интернете есть бесплатные сервисы для таких целей. Например, bitbucket.org .

Изучающий си решеткаИдея с Build->Clear действительно хорошая, почему-то раньше не догадывался.
Угу. Единственное файлы удаляются только для текущей конфигурации компиляции так что я бы удалял bin/obj.