Самый простой способ заключается в том, что б в обработчике события для кнопки, переадресовать пользователя на другую страницу передав значение исходного текстбокса как парамметр в урл.
 string urlDestination = "next.aspx";
 string str = TextBox1.Text;
 string result = urlDestination + "?param = str";
 Response.Redidirect(result);

на странице назначения считываем его в PageLoad и присваеваем его значение текстбоксу

например так:
 TextBox1.Text = Request.QueryString["param"];

Конечно не забыв проверить на null

в случае нескольких парамметров они отделяются символом &
в результате урл приймет примерно следующий вид:
next.aspx?p1=A&p2=B&p3=.....

C ув. Сергей.История - это огромная система раннего предупреждения.
Norman Cousins