если изменяется aspx-страница, то ничего перекомпилировать не надо (если дело касается дизайна), а при добавлении какого файла нужна перекомпиляция? Тут либо csc.exe либо VS.Net, либо нужно смотреть, как перекомпилировать код си шарп в памяти (это возможно), но это из области не нужных вам извращений (скорее всего).

1)Я изменил строку подключения к SQL Server-у в присоединенном коде на C# от aspx-страницы.
лучше хранить её в web.config'e и тогда можно менять её безболезненно
2) Добавить надо новую версию user-component.
в этом случае точно не скажу, нужна ли перекомпиляция. всё зависит от того, что он из себя представляет - может быть нужна, а может и нет

На release-сервере не установена VS.Net.
главное, чтобы сам .Net стоял :)
Просто копирование dll на сервер не помогает потому, что на сервере, где бежит все приложение, адрес папки приложения (virtual directory) не одинаков с адресом на машине разработчика.
обычно веб-приложение оперирует с файлами из своего каталога/подкаталога, поэтому не совпадение путей на машине разработчика и production-сервере не критично, хотя варианты наверняка бывают.

Поэтому я просто копирую измененные файлы поверх их старых версий на сервер. Это работало... иногда
А почему иногда? Обычно или работает или нет. Тем более MS простое копирование файлов веб-приложения официально считает одним из видов deployment'a.