Partisan MЭто что, про простое ASP, не про ASP.NET? Никак.

Хороший ответ и самое главное правильный.

ASP и ASPX работают как два разных процесса и преходе из одного в другой текущая сессия пропадает и начинается новая, НО
есть старый бобрый метод передачи данных через POST метод.
Туда семло можно даже пароль всталять и просто делать submit формы через HTTPS (хотя если это на одном сервере то и смысла особого-то и нет).
Теоретичиски можно создать третия AppPool и в нем сделать свой механизм кэширования и соединения ТАМ хранить, НО тогда прдеться "опуститься" до ADO обектов так как ADO.NET не будет в ASP работать, но это "НО" достаточно большое и бы просто рекомендовал передавать параметры соединение через "форму".

Если очень беспокоит скорость соединения с сервером, можно попробывать выбрать провайдером ODBC тип в надежде что ODBC manager будет кэшировать соединения для обоих ASP/ASP.NET приложений.