Может кому пригодится. Сам напоролся уже.

После переименования учетной записи Windows перестал запускаться Windows Azure Storage Emulator.

В папке "C:\Users\<Username>\AppData\Local\Microsoft\Microsoft SQL Server Local DB\Instances\v11.0" есть логи. Там было видно, что обращение идет к файлам старого пользователя - "Could not open file C:\Users\<Oldusername>\AppData\Local\Microsoft\Microsoft SQL Server Local DB\Instances\v11.0\...".
Прямая переустановка Microsoft SQL Server Express LocalDB не помогла.

Исправляется:
1) В папке "C:\Program Files\Microsoft SQL Server\110\Tools\Binn лежит SqlLocalDB.exe". Удаляем v11.0 так - "SqlLocalDB.exe delete v11.0".
2) Не обязательно - В папке "C:\Users\<Username>" удаляем файл с хранилищем "DevelopmentStorageDb...mdf" вместе с лог-файлом (имя файла может быть различным, отличаться в конце какими-то датами или версиями). Можно не делать, но здесь сменилась версия Local DB), и вероятно можно нарваться на ошибку про старте эмулятора - Cannot create database 'DevelopmentStorageDb...' : Database 'DevelopmentStorageDb...' already exists. Choose a different database name..".
3) Запускаем Windows Azure Storage Emulator, видим что только что удаленный файл будет создан.
4) Процесс пошел... Но тут же затык - получаем сообщение "Отказано в доступе по пути "C:\Users\<Oldusername>\AppData\Local\DeveloperStorage\Logs".
5) Оказывается, что в папке "C:\Users\<Username>\AppData\Local\DevelopmentStorage" лежит маленький конфиг файл, с настройками на старые пути. Можно его исправить, а можно просто удалить, он будет потом пересоздан.
6) Запускаем Windows Azure Storage Emulator. Все работает...