Была составлена программа для нечётных чисел n, с интервалом расчётов для n < x < 1000, где х > 6.
Результаты расчётов для нечётных чисел n показали, что:
- всего возможных комбинаций чисел x, y, n – 165 543 732;
- количество комбинаций чисел x, y, n, для которых доказана ВТФ – 160 976 421;
- количество комбинаций чисел x, y, n, для которых пока не доказана ВТФ – 4 567 311.

Можно считать хоть до ... любого x (y < x, n < x).
Для очень больших чисел необходимо большое время расчётов.

Я просто показываю результаты расчётов до 1000. Как пример.
Чтобы показать количество троек чисел для данного интервала, для которых верно доказательство ВТФ.

Спасибо за вопросы!

И это хорошо!

Если метод поиска эвристического алгоритма себя хорошо зарекомендовал на одной задаче,
то почему этот метод не применить на другой задаче.

Метод заключается в поиске закономерностей "поведения чисел" и
в построении алгоритмов, описывающих найденные закономерности.

И там, и там имеют место целые числа.

А среди этих чисел можно найти интересные последовательности,
и, следовательно, найти интересные алгоритмы.

Кстати, это было сделано и в (p – 1) – методе Полларда,
и в алгоритме Гельфонда-Шенкса,
и при определении алгоритма поиска чисел Мерсенна.

Во всех этих разработках не нужны сложные формулы,
а просто надо найти закономерности и построить эвристические алгоритмы.

Люблю большие цифры...

Если n = 8401,
то ВТФ доказана на всех множествах Рх
для n = 8401 и при х < 15360926145700225177993898668252031309861655165130148535,
(и даже больше)

Самое интересное,

если смотреть все остатки от деления х^8401
на А = 2 * 15360926145700225177993898668252031309861655165130148535,
то при увеличении х от 1 до А - 1 эти остатки будут принимать значения от 1 до А - 1:
1, 2, 3, 4, ... и т.д.

То есть, х^8401 % А = х

И как следствие из 22286032 :

х^(8401- 1) % А = 1 для всех х < A

то есть, одни цифры 1

А в этом случае получается вывод:

ВТФ доказана для всех пар натуральных чисел х и y при следующих условиях:

- наличие чётной степени числа n;

- числа х и y не будут кратными величине Q, где величина Q равна произведению простых чисел q, для которых величина (q – 1) будет множителем числа n.


// новая версия
В нашем примере n = 8400,
а Q = 2 * 15360926145700225177993898668252031309861655165130148535

// старая
В нашем примере n = 8401,
а Q = 2 * 15360926145700225177993898668252031309861655165130148535

Нужно поправить сообщение 22287715 :

В нашем примере n = 8400,
а Q = 2 * 15360926145700225177993898668252031309861655165130148535

Построен эвристический алгоритм, который доказывает ВТФ для любых натуральных чисел x, y, n (в статье - задач 7):

Уравнение ВТФ на множестве пар натуральных чисел Рх, где y < x, можно представить в следующем виде:
x^n + y^n = (x+а)^n,
где a – натуральное число, а < y.

Тогда для любого множества Рх можно найти произведение Q простых чисел такое, что
x^n mod Q + y^n mod Q
не будет равно
(x+а)^n mod Q
для любых чисел y и n и для любых натуральных чисел а, a < y.

Следовательно, на любом множестве Рх для любых чисел n уравнение:
x^n + y^n = z^n, где z = x + a,
не имеет целочисленного решения.

Что доказывает ВТФ на всех множествах Рх для любых степеней n.
А поскольку все множества пар натуральных чисел Рх объединяют все пары натуральных чисел,
то ВТФ доказана для всех пар натуральных чисел для любых степеней n.

Почему?В статье приводятся расчёты. Например,
Если число Q = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 = 6469693230,
то для всех множеств Рх, где х < 406, доказана ВТФ при любом числе n.
(я взял произвольную строчку расчётов, всего 14 строчек при увеличении на 1 простое число)

При увеличении количества простых чисел увеличивается число х (в данном примере - 406),
и расчёты на компе показали, что правая и левая части не равны для любых чисел x, y, n,
где x < 406, y < x, n < x, a < y.

А далее, ... эвристика:
верно для 14 простых чисел, будет верно и для остальных простых чисел.
Увеличение числа х приводит к увеличению количества множеств Рх,
для которых доказана ВТФ.
И так далее...

Конечно, на каком-то шаге компьютеру будет сложно найти очередное простое число.
Но это не значит, что алгоритм дальше не работает.

А так удобно сравнить левую и правую части уравнения,
и при этом не искать корень n - ой степени от суммы двух степеней
(с целью определения целого числа).

mayton,

Доказательство ВТФ строится на том, что уравнение Ферма не имеет решений среди целых чисел.
Если число очень большое, то пытаться найти корень n-ой степени в правой части уравнения - трудная задача.
Рассмотрение множества Рх позволяет рассматривать пары числа x и y только при y < x.
Тогда число z^n (z > x) будет не более, чем х^n + (x - 1)^n.
То есть, ограничили количество значения числа z.
Можно все эти числа z "выписать" и сравнивать, но это очень трудоёмко,
тем более непонятно - а что делать с очень большими числами.

Самый лучший вариант - расчёты по mod Q.
Тогда для любого х остатки по модулю равновелики, и их легко сравнивать.

Предыдущие расчёты показали, что при малых Q (Q = x) значения по mod Q часто совпадают.
Вот и получались эвристические алгоритмы 22269646 ,
которые показывают доказательство ВТФ в зависимости от величины числа n.

Поэтому начал рассматривать увеличение числа Q, и смотреть: что получается.
Оказалось, если число Q - произведение последовательных простых чисел, начиная с 2,
то при определённом количестве простых чисел значения по mod Q "перестают" совпадать!

Причём это оказывается возможным при любом x.
Сейчас считаю и проверяю уже при х = 5400 (медленный счёт проверки).
Пока нет опровержения эвристического алгоритма.

Эвристический алгоритм показывает: для х < 5400 верно, значит будет верно и для остальных х.

Что верно: есть произведение простых чисел Q, которое "доказывает ВТФ" при делении членов уравнения по mod Q.

Чем больше простых чисел будет в произведении Q, тем для большего х будет доказана ВТФ.

(Что-то такое с произведением есть у Полларда...)