ПризнаЮсь, вопрос интересный. Не вдаваясь в то, для чего, выскажу неск. размышлизмов.
0) Ничего не известно о природе D.
1) Предположим, D как N случчайных величин. Тогда имеем N выборок и переходим от статистик настоящих СВ к оценкам статистик.
2) СлучВел. м.б. зависимы или независимы.
3) Допустим, они все имеют и МатОж (M вектор), Дисп обознач. DD вектор.
4) С одной стороны, при независимости можно максимально раздвигать выборки, тем самым увеличивая Дисп.
5) С другой ст., можно подобрать в конкретном случае {Ak} знакопеременными, чтобы максимально занулить Y.
6) Формула Дисп при п.(3) DD= E(dk^2 - M^2), где E есть L-сумма. DD >=0 если существует
продолжу ...

не успел ....
Возможно я не выдерживаю обозначения, но пока хоть так.
к п.(6)
для СВ
DD(d1+d2)=DD(d1)+DD(d2)+cov(d1, d2), где cov()= ковариационная матрица. Для независимых cov() = 0, а для зависимых <>0.

Н-да, я слишком диагонально прочитал. Но и вы уж тогда тщательнЕе и без самодеятельных умолчаний.
В п.(4) я перемудрил с плотностью распределения. Но надо уточнить и формулу Y = Сумма(Ak*Dk), как именно суммировать.
Это сумма по k всех скалярных произведений (Ak*Dk) ?
А м.б. Ak не матрица, а N-вектор, и тогда Y есть линейная комбинация векторов Dk?

Это взгляд кластерного анализа. У кластеров, да, суммарная Дисп из этих 2-х частей. Механический аналог - момент инерции вращения тв. тела. Оно вращается вокруг своей оси инерции и вместе с осью вокруг неподвижной оси.

Но в задаче меня сейчас путают Ak<0.
B что-то меня тянет в сторону эллипсоида рассеяния в пространстве dim=L, с мыслями не могу собераться.

пу Т ают Ak<0. От слова пуТанница.

Если бы не ограничение на {A}, то запросто. Умножение на 777 обычно увеличит одну из дисп, другие же можно не трогать.

Мож я до сих пор не всё понял. Можно пойти прямым путём подбора {A}?
Пусть M=( D1 D2 ....) матрица состоит из столбцов Dk
(A) - вектор-столбец.
решаем матричное уравнение M*A=E - единичнй вектор (11111....). Дисперсия минимальна, =0
решаем M*A=X, где X - любой, перпендикуляр к E, напр (-1 1 -1 1 -1 1 ...). Дисперсия максимальна.

Фигня пока в том, что я никогда не решал системы приближённо, за исключением метода простых итераций. Но здесь не этот случай.
Предполагаю находить A покомпонентно, на основе расчёта какой вектор вносит наибольший вклад в отклонение Ср. арифметического всех Dk от E или X. Пока так.

Порядок величин хотябы какой у N и L? и L/N =?

Это конечно хуже. Если матрица вытянута вниз, то наличие точного реш-я зависит от её ранга. Почему-то я надеялся, что будет вширь. Поэтому я отмазался на предмет приближённого решения системы. Тем не менее считаю, что конструктивную цель (векторы E и X) назвал удачно.

Методы по типу "главных компонент" (уже написано про собственные числа) для вырожденных "вертикальных" матриц -- стоит подумать, это я себе сказал..

100500 не получить, понятно. Пытаемся максимизировать. Рассуждаем, нецентрированные выборки. Среди 2-х рядов один "покрывается" другим. Умножать приходится на А<1, это уменьшает дисп. Это сближает их матож.
Для минимума надо стремиться "минимаксно" сблизить ряды, заставив меньший диапазон въехать в другой.
Для максимума -- "минимаксно" раздвинуть. Как раз принцип внутри- и меж-групповой дисперсии.
Конструктивно, я предлагал это через невязки (в геометрической интерпретации). Ннаверное то же самое получим через собственные числа квадратной матрицы. Они поставят координаты векторов в порядке значимости их влияния на суммарную дисперсию. Задействовать из них нужно самые главные. Вычисление собств. значений есть рутинная процедура. Могу завтра алгоритм подогнать. У меня бэйсиковый, для 1000 не сработает, столбцов эксэлке2003 мало.

П.С, Кстати метод Лагранжа (упомянутый) как раз подбирает коэф-ты через частные производные по каждому параметру.