если хорда касается маленького круга, то
лодка проплывет sqrt(1 - 1/V^2),
бегун пробежит Пи + arccos(1/V)

при той скорости, о которой я говорил, время совпадает

1 и 2 - это первая фаза, причем с выходом почти на границу.

потом, когда из "почти границы" идем на границу, учитель выбирает направление и чуть смещается, это и задаст направление

ну тогда и мальчик развернется.
только бегуну это невыгодно. центральный угол между ним и мальчиком уже меньше Пи, потому что на второй фазе угловая скорость бегуна выше, как бы лодка не плыла.

если бегун не меняет направление, то да.

бегун вообще не думает о расстоянии. Его интересует только центральный угол. На старте второй фазы этот угол равен Пи, бегун хочет чтобы был 0. А поскольку у бегуна на второй фазе угловая скорость выше, то именно ему невыгодно менять направление.

остался последний вопрос: что если озеро квадратное? )
даже два вопроса, какая скорость V нужна учителю и где ему выгоднее быть на старте игры, в момент когда ученик в центре.

это угол между чем и чем? )

предлагаю рассуждать так:

1) возвращаться к "магической красной окружности" радиуса 1/V (от которой стартовала гонка второго этапа) смысла нет, мы и так на ней были в самой выгодной точке.
2) снаружи этой окружности мы всегда должны удаляться от центра пруда. Потому что наша угловая скорость (относительно центра) меньше, чем у бегуна, и бегун, всё время двигаясь в одном направлении, только сокращает угол, равный Пи на старте гонки. И мы не можем позволить себе перемещения, которые не приближают берег.
3) где-нибудь мы причалим. Кратчайший путь между стартом гонки и точкой причаливания - прямая, и с учетом пп. 1 и 2 мы выбираем направление от "плыть по диаметру" до "плыть по хорде, касающейся красной окружности". То есть выбираем какой-то оптимальный угол.

п.3 можно решать по разному, но там не обойтись без производной чего-либо. Я доказывал, что именно для хорды получается так, что в любой точке этой хорды выбрано оптимальное направление. Потому хорда (точнее, полухорда) и есть тот искомый путь.

4.60333884875170...

это если плыть по хорде.

зеленое - путь лодки, длиной S1 = sqrt(1 - 1/V^2)

синее - путь бегуна, длиной S2 = Pi + arccos(1/V)

приравниваем время

S1 / 1 = S2 / V

sqrt(1 - 1/V^2) = (Pi + arccos(1/V)) / V

получаем ответ

если бегун захочет бежать из нижней точки вправо, то лодка поплывет влево, а менять направление бегуну не выгодно.