ну что, кто-нибудь пробовал выяснить, при какой максимальной скорости учителя мальчик может спастись, если скорость лодки равна 1?

у меня пока получается 4.6033...

если скорость мальчика равна 1, радиус равен 1, а скорость учителя V > 1, то мальчик всегда достигает выгодной точки радиуса (1/V - эпсилон), в этом круге у него больше угловая скорость, и он может оказаться в противоположном положении от учителя, тут не зависит от V.

всё интересное начинается за этим радиусом. Просто плыть к берегу кратчайшим путем - невыгодно, надо плыть под некоторым углом, и оптимальный угол зависит от расстояния от центра. Выясняем функцию зависимости угла от этого расстояния, потом с помощью интегрирования выясняем, насколько изменится угол (учитель-центр-мальчик) к моменту причаливания (этот угол уменьшается, начиная от Пи). Ну и берем то самое V, при котором угол сократится до 0. Вот и всё :) вольфрам-альфа в помощь.

всё, что делается внутри порогового радиуса 1/4 (а вообще, 1/V), не влияет на исход гонки, там можно только искать кратчайший маршрут. Очевидно, что на самом радиусе 1/V мальчик не сможет занять противоположную точку, а на радиусе (1/V-эпсилон) запросто. Потом переплыть через двойной эпсилон (учитель за это время сместится на угол эпсилон*const), и, находясь уже за этим радиусом, начать гонку по стратегии 22063926

у тебя мальчик плывет не по оптимальной траектории.

да.

допустим, лодка находится на расстоянии r от центра, 1/V < r <= 1

(напоминаю, что скорость мальчика равна 1, радиус равен 1, а скорость учителя V > 1)

учитель - точка А, лодка - точка В, проекция учителя на радиусе r - точка М, а красная окружность - та самая, радиуса 1/V, откуда стартовала гонка, когда центральный угол был равен Пи.

пусть, находясь на радиусе r, лодке надо пересечь бесконечно тонкое зеленое кольцо шириной s (настолько тонкое, чтобы считать линейную скорость точки М постоянной) так, чтобы минимизировать сближение с точкой М (и как следствие уменьшение центрального угла АОВ), у которой скорость V*r - cos(a)

скорость сближения U = V*r - cos(a)
время прохождения зеленой области t = s / sin(a)
сближение точки М и лодки S = U*t = s * (V*r - cos(a)) / sin(a)

находим производную dS/da, приравниваем к нулю, получаем cos(a) = 1/(V*r)

теперь, получив функцию значения оптимального cos(a) от r, можем построить функцию изменения центрального угла АОВ от r, проинтегрировать от 1/V до 1, полученное значение приравнять к Пи, получить результат - ту самую предельную скорость учителя, достигнув которой, он сможет поймать ученика.

так направление лодки зависит от направления учителя. да и потом, за пределами красной окружности угол будет только сокращаться, и учителю, пробежавшему хоть немного, уже не выгодно менять направление.