Эх, хорошая тема. Сидел полчаса, но всё таки вывел формулу для дней рождения. Итак, поехали
Пойдём с другой стороны, посчитаем вероятность того, что у в группе из k человек нет одинаковых дней рождения, ибо так проще.
Давайте сначала посчитаем, сколько у нас всего вариантов дней рождения для k человек? 365^k. Ну тут вроде очевидно, у первого может быть в любой день, у второго - тоже в любой, и т.д., вот и получается. Это у нас столько всего элементарных исходов. А теперь посчитаем, сколько может быть таких групп, у которых все дни рождения - различные. У первого человека 365 вариантов. У второго - уже остается 364 и т.д. А всего получается 365*364*...*(365-k+1) = 365!/(365-k)! Объединяем эти два факта и получаем, что вероятность того, что все дни рождения различные p=365!/((365-k)!*365^k). Ну а вероятность того, что у кого то будут дни рождения в один день тогда получается 1-p.
Теперь можно взять wolframalpha и посчитать. Для 22 человек получается ~0.48, а для 23 уже ~0.51, т.е всё сходится.
Из допущений здесь сделано только то, что дни рождения распределены равномерно и то, что нет високосных город. Но я думаю, что в реальности этими допущениями можно и пренебречь, вряд ли они значительно влияют на результат.

Это уже не чистый тервер, к тому же в вики написано, что значимость эффекта преувеличена. Хотя, конечно, с точки зрения моделирования задача гораздо интереснее, чем просто дни рождения считать. Тут надо придумать как моделировать распространение навыков в популяции и запрогать, за полчаса уже не справиться.

Dima T,
ну все правильно, по моей формуле получается p(23)=0.5072972... (длинное-длинное число)

Что и написано - вероятность того, что в группе из 23 человек будет как минимум одна пара с одинаковыми днями рождения.

В общем, такую модель примитивную модель запрогал. Пусть у нас есть популяция из кучи обезьян. Обезьяны время от времени встречаются и могут при встречах друг друга учить. Вероятность встречи обезьяны на каждой итерации задана. При встрече глупой обезьяны с умной, умная передает ей некоторую частичку своих знаний. И после нескольких таких встреч, глупая обезьяна научается и становится умной. Поумнение обезьяны смоделировал линейной функцией - при каждой встрече обезьяна становится умнее на некоторый шажок. Как только "функция ума" стала равна 1 - обезьяна поумнела.
Код на питоне


В этой модели действительно получаются некоторые критические значения, после которых вся популяция взрывообразно умнеет. Вот, например графики количества умных обезьян по итерациям (во всех случаях размер популяции был равен 500 обезьян, вероятность встречи 0.01, а шаги для "функции ума" попробовал 0.1 и 0.05
Графики:

Как видно, количество умных обезьян в один прекрасный момент резко подрывается и вся популяция умнеет. Вообще, как то слабо верится в реальность этой модели. Можно, конечно, здесь ещё поиграться с вероятностями, функцией поумнения, смоделировать как живут обезьяны в пространстве - с ближайшими соседями встречаются чаще и т.д. Безграничный полёт фантазии, в общем...

Ну это я их условно "умными" и "глупыми" назвал. Про эксперимент я прочитал, и имел в виду именно это, фактически. Умная - значит усвоившая то, что нужно. Впрочем, модель получилась довольно универсальная, как сами заметили даже на распространение вирусов похожа. Достаточно лишь чуть по другому проинтерпретировать входные данные - не обезьяны, а компьютеры. Не вероятность встречи, а вероятность заражения. И получается практически один в один. А "функцию поумнения" можно, наверное, просто рассматривать как небольшой множитель к вероятность, её уменьшающий. По крайней мере, пока она линейна, как у меня.

Помню, где то читал про эксперимент с голубями, как у них появляется ритуальное поведение. Если голубю, например, несколько раз дать еду в момент когда он хлопал крыльями, то он начинает считать эти события взаимосвязанными. То есть продолжает хлопать крыльями когда хочет есть даже если еду ему уже не дают или дают но не в нужный момент. Возможно тут что-то подобное.