gidroturbina,

Например, (квадратной) матрице может быть сопоставлен линейный оператор в некотором пространстве. Например, поворот плоскости вокруг начала отсчёта и гомотетия с ненулевым коэффициентом с центром в начале отсчёта - линейные преобразования двумерного линейного пространства над полем R .
Так вот, при преобразованиях такого рода могут существовать ненулевые векторы, которые после преобразования оказываются коллинеарны себе исходным. К примеру, при повороте плоскости на число градусов, не кратное 180, таких векторов нет, а при гомотетии все векторы таковы. Такой вектор называется собственным вектором оператора, а его разложение по базису - собственным вектором сопоставленной этому оператору матрицы.

Поскольку для любой матрицы A ненулевой конечной размерности существует линейное пространство, его базис и оператор в этом пространстве, матрица которого есть A , можно дать алгебраическое определение: собственным вектором матрицы A называется вектор b , если b есть ненулевой вектор, произведение Ab имеет смысл и существует c из того же поля, что и элементы A , что Ab =c b .

*для любой квадратной матрицы A ненулевой конечной размерности*