VowkzkutchVowk,
ассоциативность интереснейшее свойство, но так как я не чувствую глубину вопроса, то сперва попробую очень простой ответ...

Ну я вот что имею в виду. Коммутативность достаточно примитивное свойство, если его изобразить при помощи декартова произведения - это всего лишь симметрия графика относительно диагонали (одного взгляда достаточно на "таблицу умножения", чтобы сказать имеет место коммутативность или нет). А вот как проверить ассоциативность в группе, имея перед собой "таблицу умножения" и не имея никаких дополнительных сведений о группе. Кроме тупого полного перебора по 3-м операндам других способов я не вижу.
Вопрос можно поставить еще и так: существует ли способы проверки ассоциативности кроме полного перебора результатов операции (ab)c и a(bc)?


не думал, что эта бесседа продолжится и не заглядывал. А тут такой прекраснейший вопрос.

Теперь смотрите - определение ассоциативности, разумеется, как раз и состоит из условия на все возможные тройки из данного множества (кстати называется оно обычно групоид, мультипликативное множество, магма). Существует теорема утверждающая, что все возможные условия ассоциативности - это все возможные равенства среди конкретных троек - взаимно независимы. Но, несмотря на это сократить полный перебор вполне возможно. Есть, например, такой тест Лайта (Light test), он и в вики есть. Суть в том, что некоторые элементы представляют собой произведения других и для них условие ассоциативности выполнится если оно выполняется для составляющих элементов сомножителей. Точные формулировки, как и книги с страницами, могу привести желающим, хотя читать их нужна квалификация, не обычная для данного форума.

вопросы про суть главные в математике, главные в интуиции - давайте дальше ...