mriadusVowkпропущено...

Вот об этом как раз и пишет Дьедонне, указывая на катастрофически неправильный способ введения понятия производной в большинстве курсах анализа. На самом деле производная - это локальное приближение функции линейной формой. Это как Земля круглая, а она нам кажется плоской.
Так, другое дело ) Локальное приближение функции линейной формой... Ага... Т.е. есть офигенно сложная функция с офигенно скачущим графиком, допустим. Если взять на ней точку, сильно в неё заZOOM-иться экраном, получим на экране небольшой кусочек графика этой функции (локальный кусок функции), который будет очень похож на линию. (инструкция: если не хватает линейности, добавить zoom). И вот новая функция, которая описывает эту линию, которую мы увидим при большом зуме и будет производная? Так?

А как насчёт производной первого порядка, второго... Почему порядки имеют такие номера? (вернусь через час).

Не нужно заблуждаться насчет того, что производная равна функции на бесконечно малом отрезке. Т.к. на самом деле она равна отношению двух бесконечно малых - приращения функции к приращению аргумента ( dy/dx ). Для наглядности предлагаю взять функцию y = f(x) . Ее производная равна единице (1) в любой точке ! Когда говорим о производной, неплохо также помнить и определение дифференциала (dy) - это есть главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента.

Опечатка в предыдущем посте - конечно же, функция y = x .