Ряд тейлора дает приближение в окрестности точки. Вот вам ряд маклорена(т.е. в окрестности нуля) для ln(1+x):
ln(1+x)=x-(x ² /2) + (x ³ /3) - (x ⁴ /4) +...+ (-1) ^n-1 *(x ⁿ /n) + ((-1) ⁿ /(n+1))*(x ⁿ⁺¹ /(1+theta*x) ⁿ⁺¹ )
Где последняя шняга остаточный член в форме Лагранжа, который нам-то и нужен для приближения. То бишь ищем, при каком n, максимальное значение этого самого члена меньше эпсилон и n-1 членов нам нужно для такого приближения, ну и считаем.

К сожалению с асмом помочь не могу, так как вообще не силен в нем.

Ну и вообще зря я все выше писал, здесь есть алгоритм тынц :E