На плоскости заданы два отрезка a и b, a - точками A1(A1x,A1y) и A2(A2x,A2y), 
а b - точками B1(B1x,B1y) и B2(B2x,B2y). 
Найти и напечатать возможную точку их пересечения C(Cx,Cy). 
Задача в основном на геометрию, программирования особого здесь нет. 
Рассмотрим первый отрезок a. Уравнение прямой, на которой он лежит можно записать так:
xa = A1x + ta (A2x - A1x)
ya = A1y + ta (A2y - A1y)
Здесь, A1x,A1y,A2x,A2y - суть константы, xa,ya - суть точки отрезка, при ta 
пробегающем значения от [ 0 , 1 ] Аналогично для отрезка b:
xb = B1x + tb (B2x - B1x)
yb = B1y + tb (B2y - B1y)
Таким образом, приравнивая соответствующие координаты, получаем задачу 
нахождения параметров ta,tb, при которых бы выполнялись равенства:
A1x + ta (A2x - A1x) = B1x + tb (B2x - B1x)
A1y + ta (A2y - A1y) = B1y + tb (B2y - B1y)
После разрешения системы относительно ta,tb получаем:
ta (A1x - A2x) + tb (B2x - B1x) = A1x - B1x
ta (A1y - A2y) + tb (B2y - B1y) = A1y - B1y
А это есть система из двух линейных урвавнений относительно ta,tb. 
Известно, что система:
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
имеет следующее решение:
x = dx/d
y = dy/d,
где d - определитель матрицы, 
d = a1b2 - a2b1,
dx = c1b2 - c2b1,
dy = a1c2 - a2c1.
В нашей системе относительно ta,tb:
a1 = A1x - A2x 
b1 = B2x - B1x
c1 = A1x - B1x

a2 = A1y - A2y
b2 = B2y - B1y
c2 = A1y - B1y
откуда легко находится d,dx,dy. Если d отличен от нуля, то система имеет 
единственное решение. Правда, следует помнить, что искомые ta,tb -
 параметрически задают отрезки только если они лежат в диапазоне [ 0 , 1 ], 
в противном случае точка пересечения прямых, на которых лежат 
отрезки, находится вне этих самых отрезков.
Если d равен нулю, а хотя бы один из dx,dy отличен от нуля, то отрезки лежат 
на параллельных прямых, или как говорят математики, они коллинеарны. 
Если же все три d,dx,dy равны нулю, то это значит, что отрезки лежат 
на одной и той же прямой, где опять возможны три случая - либо отрезки не перекрываются, 
либо перекрываются в одной точке, либо перекрываются в бесконечном множестве точек. 

import java.lang.Math;
import java.io.*;

public class findPoint{
  Double Ax1, Ax2, Ay1, Ay2;
  Double Bx1, Bx2, By1, By2;
  Double a1, b1, c1, a2, c2, b2;
  Double d, dx, dy;
  Double ta,tb;
  Double x, y, U, W;
  Double eps = new Double( 0 . 000001 );

  public findPoint(Double AX1, Double AX2, Double  AY1, Double  AY2,
                         Double BX1, Double BX2, Double  BY1, Double  BY2){
    Ax1 = new Double(AX1);
	Ax2 = new Double(AX2);
	Ay1 = new Double(AY1); 
	Ay2 = new Double(AY2);

	Bx1 = new Double(BX1);
	Bx2 = new Double(BX2);
	By1 = new Double(BY1); 
	By2 = new Double(BY2);

            a1 = new Double(Ax1 -Ax2);
	b1 = new Double(Bx2 -Bx1);
	c1 = new Double(Ax1 -Bx1);

	a2 = new Double(Ay1 -Ay2);
	b2 = new Double(By2 -By1);
	c2 = new Double(Ay1 -By1);
 
             d = new Double(a1*b2 - a2*b1);
	dx = new Double(c1*b2 - c2*b1);
            dy = new Double(a1*c2 - a2*c1);
	
	if (Math.abs(d) < eps)
	{
		x = new Double( 0 . 0 );
                          y = new Double( 0 . 0 );
		return;
	}

    ta = new Double(dx/d);
    tb = new Double(dy/d);

    x = new Double(Bx1 + tb * (Bx2 - Bx1));
    y = new Double(By1 + tb * (By2 - By1));

  }

  public Double axisX(){
    return x;
  }

  public Double axisY(){
    return y;
  }
}

findPoint fp = new findPoint(   30 . 0 ,  10 . 0 ,  0 . 0 , 10 . 0  , 10 . 0 ,  0 . 0 ,   10 . 0 , 20 . 0    );  
g2d.setColor(Color.orange);
g2d.draw(new Line2D.Double(  30 . 0 ,  10 . 0 ,  0 . 0 , 10 . 0   ));
g2d.draw(new Line2D.Double( 10 . 0 ,  0 . 0 ,   10 . 0 , 20 . 0 ));
...

Double X = new Double(fp.axisX());
Double Y = new Double(fp.axisY());
g2d.setColor(Color.black);
g2d.draw(new Line2D.Double(X, Y, X, Y));

findPoint fp = new findPoint(   [color=red] 300 . 0 ,  100 . 0 , 100 . 0 , 100 . 0  [/color],     100 . 0 ,  100 . 0 ,   100 . 0 , 200 . 0    );   

findPoint fp = new findPoint(  [color=red] 100 . 0 , 100 . 0  ,  300 . 0 ,  100 . 0 [/color],     100 . 0 ,  100 . 0 ,   100 . 0 , 200 . 0    );