RMagistr2015Ну я вот что-то не нашёл Не верю! (с)

Dima TЕсли координаты double, то добавить учет погрешности А вот это важно. Т.е. образно говоря, двумерная площадь треугольника о-о-очень маленькая, даже если математически треугольник равносторонний.

Проще все А если они в 123-мерном пространстве?
academic_ru Размерности, не равные трём
Пусть D — размерность пространства.
Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения,
то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение
\mathbb{R}^D \times \mathbb{R}^D \to \mathbb{R}^D,
можно ввести только для размерности 3.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3,
а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом).

Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше,
вводится не для пары векторов, а лишь для набора (D - 1) векторов-сомножителей.

Изопропилзначит сразу нужно чисто делать Универсально и масштабируемо в N-мерном Евклидовом пр-ве над полем действительных чисел
а) выше было: проверить неравенство треугольника или сумму и разность сторон.
б) "в лоб" для уравнения прямой X= А+АВ*t найти точку Х= проекции т. С на эту прямую, затем длину отрезка |С Х|. В идеале длина == 0

Оба варианта - с учётом погрешности вычислений.

А как ты будешь среднюю точку выбирать? (я-то знаю)
В лобовом решении недостаток только один: квадратное ур--ние по t -- это один раз sqrt(), зато резалт сразу записывается одной формулой. Кол-во букв в программе не зависит от размерности без всяких ухищрений.

И теперь в студию зависимость длины программы от размерности задачи.

Уже не надо, проверки в цикле вроде.

hclubmkтынц Там через площадь параллелограмма, т.е. векторное пр-ние, т.е. уже было. А вот про тольщину линии мы и забыли ...

Dima, дезавуируй заявление:Достаточно одну размерность проверять, например Х, т.к. все точки на одной прямой.

И напоследок: ТСу это всё наше так же надо, как и недавний цилиндр (кто помнит).

kealon(Ruslan) векторного произведения и произведения двух сторон
|a*b| ?= |a|*|b| скалярного, Cos=1, и сравнивать квадраты, чтоб без корня.

Заданы точки А, В, С.
Расстояние до прямой АВ вычисляется столь же просто, разница лишь вычислит-х затратах.

i - номер координаты в N-мерном пр-ве
Д - дельта (единая или несколько разных) = минимально допустимая дискретизация точек
Х - пересеч. прямой АВ и перпендикуляра из С - её вычисляем, подставляем в формулы, и вуаля:

В знаменателе - квадрат длины |ВА|
В числителе квадрат скалярного произв-я АС и АВ
Направление любого из векторов не имеет значения.

if( |CX|^2 <= Д) делаем вывод о совпадении точек С и Х, т.е С лежит на прямой АВ.

Из ухищрений:
Используем квадрат расстояния, чтобы не извлекать корень.
Чтобы не делить, сравниваем произведения:
|CX|^2 * знаменатель <= Д * знаменатель
одновременно с этим заменяем деление умножением, и избегаем деления на 0.

Вдруг Знаменатель <= Д, значит точки совпадают.
Тогда интерпретируем ответ на своё усмотрение, хотя если формально, то через них всегда проходит прямая.

И кстати, если сравнить с 3Д векторным произв-ем. Там вычисляем площадь параллелограмма и смотрим она 0 или нет, а здесь смотрим непосредственно расстояние до прямой. Но треугольник может быть очень вытянутым и тогда площадь буде большой, а растояние до прямой будет на порядки меньше, и тогда "в лоб" может оказаться точнее.
С другой стороны, когда |CX|^2 <= Д, то на самом деле |CX| <= sqrt(D), т.е. сильно длиннее.

P/s Ну вот, свой вариант я довёл до конца. Квадратное уравнение свелось к линейному, необходимость в sqrt() исчезла. Всё можно вывести, и через косинус угла, но чем научнее, тем магичнее, и аналог точки Х явно либо неявно всё равно присутствует. В результате не знаю, есть ли для 321-измерений вариант лучше лобового и понятнее для школьника.

Приходится заниматься исправительно-трудовыми работами:
exp98Заданы точки А, В, С.
Расстояние до прямой АВ вычисляется столь же просто,
Оказалось, в прошлый раз я остановился на полпути.
Короче, при услувиях, озвученных выше, запись в векторной форме:
CX= AB*t - AC
где t= (AB, AC) / |AB|^2В координатной форме:
|CX|^2= SUM( ABi * t - ACi)^2 А дальше можно с ухищрениями - перенести знаменатель во избежание деления и т.д.
Для порверки брал известный труг-к (5, 4, 3), с координатами
AB= (4, 0)
AC= (4, 3) - гипотенуза
CX= CB= (4, -3)
Справедливости ради стоит сказать, что вариант через квадрат косинуса выигрывает в скорости на порядок:
авторCos( alfa) ^2= ( (AB, AC) )^2 / |AB|^2 / |AC|^2 (сравнить с формулой для t)
Если точки на прямой, то Cos=1 - это и проверять.
Надеюсь, что теперь всё.

exp98CX= CB= (4, -3) CX= CB= (0, -3)