В вики есть числа Ферма 2^2^n+1.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Число_Ферма

Но нет информации о числах более простых 2^n+1.

Что о них известно?

Можно ли найти среди них простые числа?

Оказывается, можно.

Если числа Мерсенна обозначаются как Мр, то обозначим числа Ферма с одной степенью 2^n+1 как Fр.

Числа Fр имеют в своём составе только 5 простых чисел (числа Ферма).

Но если Fр разложить на простые множители, то получается интересная картина.

Если взять множество простых чисел р, то на диапазоне р от 1 до 200 (больше не позволяет аппарат) можно определить 19 простых чисел.
Для этого необходимо разделить Fр на 3.
Назовем эти простые числа как Fр/3.

Простые числа Fр/3 получаются на диапазоне р от 1 до 200 для
р = 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199.

Если сравнивать Мр и Fр/3,
то на диапазоне от 1 до 200 имеется только 12 простых чисел Мр.

Можно предположить, простых чисел Fр/3 будет больше простых чисел Мр на любом диапазоне.

Предлагается в задачке:
Попробовать найти следующие простые числа Fр/3.

Если простые числа Мр находятся сравнительно легко с помощью теста Люка-Лемера, то для простых чисел Fр/3 теста пока нет

Можно найти ещё простые числа другим способом.

Находится остаток от деления (Fр -1) на р.
Пусть этот остаток равен а.

Тогда определяется число q = а + 1.

И определяются числа Fр/q.

В результате, кроме простых чисел, определяемых в сообщении 21921926 , получаем дополнительные простые числа для значений р:
р = 2, 4, 6, 8, 16, 20, 28 (р = 2, 4, 8, 16 – простые числа Ферма).

Можно найти ещё 2 простых числа, если продолжить операцию деления:
Fр/q/q.

Тогда находим ещё простые числа для значений
р = 9, 10.

Нашел ещё два простых числа Fр/3 для

р = 313, 337.

Нашел ещё простые числа Fр/3 = (2^р+1)/3 для

р = 701, 1709, 2617, 3539, 5807.

Всего получается 26 простых чисел Fр/3 .

Ранее на топике рассматривались 2 последовательности чисел: Мр и Fр/3.

Попробуем представить эти последовательности в другом виде:
Мр – это (М-1)р, а Fр/3 – это (М+1)р.

Тогда можно создавать другие последовательности в виде (М+k)р, а именно:
2^р – k, где k – произвольное нечётное целое число, либо положительное, либо отрицательное.

Попробуем составить последовательность чисел вида (М-3)р.

Оказывается, среди этих чисел есть простые числа, которые получаются
для р = 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 20, 22, 24, 29, 94, 116, 122, 150, 174, 545, 689, 694, 850, 1736, 2321, 3237.

Итого, найдено 26 простых чисел в последовательности (М-3)р.

Кроме того, имеется ещё ряд чисел этой последовательности, которые, аналогично (М+1)р, состоят из произведения числа 5 и простого числа.

К таким числам относятся числа последовательности (М-3)р
для р = 11, 15, 23, 35, 71, 95, 183, 579, 759, 1519.
Всего 10 простых чисел, получающихся из деления чисел последовательности (М-3)р на 5.

То есть, можно с помощью последовательности (М-3)р найти 36 простых чисел на диапазоне р от 1 до 3500.

d7i,

математических задач так много, что за всеми не угнаться.

Пока рассматриваю задачу с последовательностями (М-k)p.

Если хотите, чтобы на форуме решали Вашу задачку, то открывайте СВОЙ топик с этой задачкой, и нет проблем.

d7imaytonЯ думаю что нам не нужна будет бумага и карандаши.Возможно. Я знаю решение. Можно даже сделать простую программку, строк на 10-15.
А вот как доказать всё это чисто математически, не знаю.А зачем доказывать?

Есть такое понятие, как эвристика (есть в вики):
проверил на последовательности малых чисел, значит, годится и на больших числах.

Чем больше малых чисел, тем больше уверенности!

Например, на эвристике построено определение решений при расстановке ферзей.

Давайте рассуждать логически.

В вики написано:
… «Поэтому простые числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые большие известные простые числа.»
При этом самым большим известным простым числом является 2^82 589 933-1.

Здесь интересно не само число, а интервалы между предыдущими простыми числами.

Получается, что следующее простое число из чисел Мерсенна будет не скоро, где-то около
2^85 000 000-1.
И это расстояние современная очень быстрая ЭВМ не может преодолеть в разумное время.

А если у нас есть другие последовательности простых чисел, которые по количеству простых чисел на определённых интервалах не уступают простым числам Мерсенна.

У каждой из этих последовательностей то же имеется свой «интервал появления» простых чисел.

И может оказаться, что следующее простое число у одной из этих последовательностей будет простое число, немного больше, чем 2^82 589 933-1.
И для этого числа будет хватать времени на его определения на ЭВМ.

При этом можно будет получить простое число, которое превышает 2^82 589 933-1.

Конечно, такие последовательности должны быть построены на степени числа 2 (а может быть и не 2), поскольку лучше работать со степенями чисел, чем с самими числами.

Жду обсуждения...

Теперь рассмотрим последовательность (М+3)р из серии 21926215

Оказывается, среди этих чисел есть простые числа, которые получаются
для р = 3, 4, 6, 7, 12, 15, 16, 18, 28, 30, 55, 67, 84, 228, 390, 784, 1110, 1704, 2008, 2139, 2191, 2367, 2370, 4002, 4060.
Всего 25 чисел.

Кроме того, имеется ещё ряд чисел,
р = 40, 76, 220,
из которых получаются простые числа с помощью деления на 19.

mayton,

Вы втягиваетесь в задачу "расстановка ферзей" ( в данном случае - ладей), в то, от чего Вы меня регулярно пытаетесь отвернуть.

Поворот на 1 грань - расстановка ладей на соседних вертикалях на следующей горизонтале
Поворот на 2 грани - расстановка ладей на соседних вертикалях через 1 горизонталь
Поворот на 3 грани - расстановка ладей на соседних вертикалях через 2 горизонтали
и т.д.

Повторы ладей на горизонталях означает, что нет одной грани, а есть несколько граней.

maytonРазве ферзёвая доска была тороидальной формы?А зачем нам тор?

Главное понять ситуацию на срезе тора, где всё происходит, и эту ситуацию где-то отобразить.

Например, на ферзевой (ладейной) доске.

maytonЛадно флаг тебе в руки.Зачем мне?

Есть d7i, вот ему и флаг в руки.

Только он что-то молчит.
Наверное, ладьи переставляет.

d7iХотите таблицу? Пожалуйста
Поворот012345673 гр.31134 гр.412145 гр.5111156 гр.61232167 гр.71111117
Ну и ?Вы же всё нарисовали.

Осталось только сформулировать:

если количество граней простое число, то независимо от количества поворотов количество полученных граней - 1.

если количество граней не является простым числом, то количество полученных граней совпадает с минимальным общим множителем количества граней и количества поворотов.(второе утверждение совпадает с первым утверждением)

d7iGennadiy UsovВы же всё нарисовали.
Осталось только сформулировать:
если количество граней простое число, то независимо от количества поворотов количество полученных граней - 1.
если количество граней не является простым числом, то количество полученных граней совпадает с минимальным общим множителем количества граней и количества поворотов.(второе утверждение совпадает с первым утверждением)Правильно. Число получившихся граней равно наименьшему общему множителю этих двух чисел (проверено экспериментально до 24-гранника включительно). Более того, в таблице куча симметрий (вертикальных,горизонтальных, по диагоналям).
Если представить номер поворота в виде угла сектора поворота (в радианах, к примеру), то возникают тоже удивительные симметрии.
Вообще-то, это задачка из области топологии, а там малоизученного ещё очень много. Видел в интернете как на топологии односторонних поверхностей делают диссертации. И не в прошлом веке, а в этом. Так что есть где развернуться...Желаю успехов в продолжении изучения задачки.
Но лучше на своём топике.

Теперь рассмотрим последовательность (М+5)р из серии 21926215

Оказывается, среди этих чисел есть простые числа, которые получаются
для р = 3, 5, 11, 47, 53, 141, 143, 191, 273, 341.
Всего 10 чисел.

Кроме того, имеется ещё ряд чисел,
для р = 6, 7, 8, 12, 15, 18, 24, 38, 42, 56, 84, 123, 128, 135, 300, 390, 771, 780, 822, 1011, 1767, 1820, 2430, 3980,
из которых получаются простые числа с помощью деления на одно число до 50.

В сообщении 21926215 рассматривались последовательности вида (М+k)р.

Эти последовательности, так же как и числа Мерсенна, охватывают числа, которые «расположены» в небольшой окрестности чисел 2^р.

Интересно рассмотреть другие последовательности, которые «расположены» между 2^р и 2^(р+1).

Сначала рассмотрим числа, которые «расположены в середине» между 2^р и 2^(р+1).

Последовательность таких чисел будет 2^р + 2^(р-1)
или
3 * 2^(р-1).

То есть, между двумя последовательностями 2^р и 2^(р+1) «появляется» третья последовательность - 3 * 2^(р-1)

Можно продолжить поиск таких последовательностей.
Например, найти последовательности «в середине» между последовательностями 1 и 2 и между последовательностями 2 и 3.

Получаются последовательности:
5 * 2^(р-2) и 7 * 2^(р-2).

Можно продолжать поиск таких последовательностей «в середине» между уже определёнными последовательностями. Тогда появляются последовательности
9 * 2^(р-3), 11 * 2^(р-3), 13 * 2^(р-3) и 15 * 2^(р-3).

Можно продолжить поиск таких последовательностей.

Общий вид таких последовательностей (множество) будет
k * 2^p, где k – целое число, большее 0.

Множество этих последовательностей охватывают все чётные числа от 2 до N.

Можно обозначить другое множество последовательностей для всех нечётных чисел:
k * 2^p - 1 или k * 2^p +1.(по выбору).

Как известно из вики, 3 * 2^p – 1 есть числа Сабита.

Как сказано в вики, для последовательностей k * 2^p - 1 существует тест Люка-Лемера-Ризеля.
В основном, в тесте говорится о последовательности 3 * 2^(р-1)+k.

Примеры использования этого теста пока не нашел.

Имеется важное отличие при поиске простых чисел в различных последовательностях (М+k)р.

В обычной последовательности чисел Мерсенна 2^р -1 простые числа (М-1)р ищутся среди простых чисел р.
В остальных последовательностях простые числа (М+k)р ищутся среди всех чисел р.

Что значительно увеличивает время поиска простых чисел (М+k)р.

Есть одни числа, при работе с которыми имеют место сомнения. Данная последовательность совпадает с числами Прота.
Эти числа описаны, например, в https://ru.wikipedia.org/wiki/Число_Прота
Во всех публикациях, где говорится о числах Прота, приводится последовательность чисел, зависящая от n.

Но ничего не говорится о выборе числа k!

Странно!

Еще раз посмотрел в вики о числах Ферма
https://ru.wikipedia.org/wiki/Число_Ферма
Там написано, что числа 2^n + 1 будут простыми, только если они числа Ферма: 2^(2^n) + 1.
И приводится доказательство.

Оказалось, что можно сделать проще:
для числа p = 2^n + 1 для определения простоты получаем значение t = 2^(p-1) (mod p).

Это значение по модулю можно получить проще:
t = (p - 1) (mod (2*n)) = 2^n (mod (2*n))

то есть, простыми числа p = 2^n + 1 могут быть только тогда, когда n является степенью числа 2.

Небольшое уточнение:

Это значение по модулю можно получить проще:
t = (p - 1) (mod (2*n)) = 2^n (mod (2*n))

Эта формула нужна для определения того, что число p = 2^n + 1 может быть простым.

А чтобы посчитать остаток по модулю при определении простоты числа, необходимо посчитать:

t1 = 2^(t-1) (mod p)